Niech \(\displaystyle{ X _{1} }\) i \(\displaystyle{ X _{2} }\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona
z wartościami oczekiwanymi \(\displaystyle{ EX _{1} = 20 }\) i \(\displaystyle{ EX _{2} = 30}\). Obliczyć \(\displaystyle{ D ^{2}
(X _{1} |X _{1} + X _{2} = 50)}\). Proszę o wskazówki do rozwiązania zadania.
Dodano po 36 minutach 25 sekundach:
Czy wzór \(\displaystyle{ E(X _{1} | X _{1}+X _{2} = 50) = \sum_{j=1}^{50} j \cdot P(X _{1} =j | X _{1}+X _{2} = 50) = \sum_{j=1}^{50} j \cdot \frac{P(X _{1} =j \cap X _{2} = 50-j)}{P(X _{1}+X _{2} = 50)} }\) będzie w tym przypadku poprawny? Wtedy w liczniku korzystam z niezależności zmiennych losowych i otrzymuję:
\(\displaystyle{ E(X _{1} | X _{1}+X _{2} = 50)=\frac{e ^{50} \cdot 50! }{50 ^{50} } \cdot \sum_{j=1}^{50} j\frac{e ^{-20} 20 ^{j} }{j!} \cdot \frac{30 ^{50-j} e ^{-30} }{(50-j)!} = 20 }\). Czy to poprawnie rozpisałem?
Wtedy jeżeli zamiast mnożyć przez \(\displaystyle{ j}\), mnożę przez \(\displaystyle{ j ^{2} }\), wychodzi \(\displaystyle{ 412}\), co chyba się nie zgadza.
Rozkład Poissona - zmienne losowe
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Rozkład Poissona - zmienne losowe
Wszystko się zgadza, bardzo ładnie.
Ogólnie ten przypadek jest bardzo ciekawy. Zauważ, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_1 = j | X_1+X_2 = 50) = {50 \choose j}\left(\frac{20}{50}\right)^j\left(\frac{30}{50}\right)^{50-j} }\), więc \(\displaystyle{ X_1 | X_1+X_2 = 50 \sim Bin\left(50,\frac{2}{5}\right)}\). Stąd od razu mamy, że wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ 50\cdot \frac{2}{5} = 20}\), a wariancja \(\displaystyle{ 50 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 12}\), więc się zgadza z Twoimi obliczeniami.
Oczywiście, nietrudno to uogólnić.
Jeśli \(\displaystyle{ X_1 \sim Poiss(\lambda_1), X_2 \sim Poiss(\lambda_2)}\) są niezależne, to dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ X_1 | X_1+X_2 = a \sim Bin\left(a, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)}\).
Ogólnie ten przypadek jest bardzo ciekawy. Zauważ, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_1 = j | X_1+X_2 = 50) = {50 \choose j}\left(\frac{20}{50}\right)^j\left(\frac{30}{50}\right)^{50-j} }\), więc \(\displaystyle{ X_1 | X_1+X_2 = 50 \sim Bin\left(50,\frac{2}{5}\right)}\). Stąd od razu mamy, że wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ 50\cdot \frac{2}{5} = 20}\), a wariancja \(\displaystyle{ 50 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 12}\), więc się zgadza z Twoimi obliczeniami.
Oczywiście, nietrudno to uogólnić.
Jeśli \(\displaystyle{ X_1 \sim Poiss(\lambda_1), X_2 \sim Poiss(\lambda_2)}\) są niezależne, to dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ X_1 | X_1+X_2 = a \sim Bin\left(a, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)}\).