Obsługa działa artyleryjskiego ma dużo pocisków. Prawdopodobieństwa trafienia do celu jednym wystrzałem wynosi 0.8. Strzelanie kończy się w chwili trafienia do celu. Wyznaczyć
a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej liczbę oddanych strzałów,
b) średnią liczbę oddanych strzałów
Jeśli to nie problem, to prosiłbym z jakimś w miarę szczegółowym wytłumaczeniem ^^ Z góry dziękuje!
Zmienne losowe i ich rozkłady
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Zmienne losowe i ich rozkłady
a)
\(\displaystyle{ P(1)=0,8\\
P(2)=0,2 \cdot 0,8\\
P(3)=0,2^2 \cdot 0,8\\
....\\
P(n)=0,2^{n-1} \cdot 0,8}\)
b)
\(\displaystyle{ E(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } nP(n)= \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot 0,2^{n-1} \cdot 0,8=0,8\sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot 0,2^{n-1}=0,8 \cdot \frac{1}{0,8^2}=1,25 }\)
PS
\(\displaystyle{ S=1 \cdot 1+2 \cdot 0,2+3 \cdot 0,2^2 +4 \cdot 0,2^3 +...\\
S=(1+ 0,2+ 0,2^2 + 0,2^3+...) + 0,2(1+2 \cdot 0,2+3 \cdot 0,2^2 +4 \cdot 0,2^3 +...) \\
S= \frac{1}{1-0,2}+0,2S\\
S= \frac{1}{0,8^2} }\)
\(\displaystyle{ P(1)=0,8\\
P(2)=0,2 \cdot 0,8\\
P(3)=0,2^2 \cdot 0,8\\
....\\
P(n)=0,2^{n-1} \cdot 0,8}\)
b)
\(\displaystyle{ E(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } nP(n)= \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot 0,2^{n-1} \cdot 0,8=0,8\sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot 0,2^{n-1}=0,8 \cdot \frac{1}{0,8^2}=1,25 }\)
PS
\(\displaystyle{ S=1 \cdot 1+2 \cdot 0,2+3 \cdot 0,2^2 +4 \cdot 0,2^3 +...\\
S=(1+ 0,2+ 0,2^2 + 0,2^3+...) + 0,2(1+2 \cdot 0,2+3 \cdot 0,2^2 +4 \cdot 0,2^3 +...) \\
S= \frac{1}{1-0,2}+0,2S\\
S= \frac{1}{0,8^2} }\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zmienne losowe i ich rozkłady
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na strzelaniu do celu - do momentu pierwszego trafienia (do osiągnięcia pierwszego sukcesu).
Model probabilistyczny doświadczenia
\(\displaystyle{ (\Omega, \ \ 2^{\Omega}, \ \ P). }\)
Oznaczenie zdarzeń
\(\displaystyle{ t }\) - "cel trafiony"
\(\displaystyle{ n }\) - "cel nietrafiony"
Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego
\(\displaystyle{ \Omega = \{ (t), (n,t) , (n, n, t), ..., \} }\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega} }\) jest klasą wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) - klasą zdarzeń probabilizowalnych.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p = 0,8.}\)
Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\) określony jest wzorem
\(\displaystyle{ P(\{ X = n\}) = (1 - p)^{n-1}\cdot p= q^{n-1}\cdot p }\)
Wartość oczekiwaną liczby oddanych strzałów
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot P(\{X=n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}p = p \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}\ \ (1) }\)
znajdziemy, obliczając pochodną sumy szeregu geometrycznego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} = \frac{q}{1 - q}, \ \ |q|<1 }\)
metodą różniczkowania wyraz po wyrazie
\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)' = \sum_{n=1}^{\infty} nq^{n-1} = \left( \frac{q}{1-q}\right)' = \frac{1}{(1-q)^2} \ \ (2)}\)
Na podstawie \(\displaystyle{ (2), (1) }\)
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{p}{(1- q)^2} }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ p = 0,8, \ \ q = 1 - 0,8 = 0,2 }\), otrzymując średnią liczbę oddanych przez działo artyleryjskie strzałów do momentu pierwszego trafienia w cel
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{0,8}{(1- 0,2)^2} = \frac{0,8}{(0,8)^2} = \frac{1}{0,8} = 1,25.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości średniej
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że średnia liczba oddanych strzałów przez działo do momentu pierwszego trafienia w cel to maksymalnie \(\displaystyle{ 2 }\) strzały.
Model probabilistyczny doświadczenia
\(\displaystyle{ (\Omega, \ \ 2^{\Omega}, \ \ P). }\)
Oznaczenie zdarzeń
\(\displaystyle{ t }\) - "cel trafiony"
\(\displaystyle{ n }\) - "cel nietrafiony"
Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego
\(\displaystyle{ \Omega = \{ (t), (n,t) , (n, n, t), ..., \} }\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega} }\) jest klasą wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) - klasą zdarzeń probabilizowalnych.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p = 0,8.}\)
Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\) określony jest wzorem
\(\displaystyle{ P(\{ X = n\}) = (1 - p)^{n-1}\cdot p= q^{n-1}\cdot p }\)
Wartość oczekiwaną liczby oddanych strzałów
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot P(\{X=n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}p = p \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}\ \ (1) }\)
znajdziemy, obliczając pochodną sumy szeregu geometrycznego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} = \frac{q}{1 - q}, \ \ |q|<1 }\)
metodą różniczkowania wyraz po wyrazie
\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)' = \sum_{n=1}^{\infty} nq^{n-1} = \left( \frac{q}{1-q}\right)' = \frac{1}{(1-q)^2} \ \ (2)}\)
Na podstawie \(\displaystyle{ (2), (1) }\)
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{p}{(1- q)^2} }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ p = 0,8, \ \ q = 1 - 0,8 = 0,2 }\), otrzymując średnią liczbę oddanych przez działo artyleryjskie strzałów do momentu pierwszego trafienia w cel
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{0,8}{(1- 0,2)^2} = \frac{0,8}{(0,8)^2} = \frac{1}{0,8} = 1,25.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości średniej
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że średnia liczba oddanych strzałów przez działo do momentu pierwszego trafienia w cel to maksymalnie \(\displaystyle{ 2 }\) strzały.