Zadanie loteriia

[nice1233]

W loterii jest 27 losów, z czego 5 losów wygrywa, a 3 dają prawo do wyciągnięcia następnego losu. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej przy zakupie jednego losu.

Liczba losów w puli 27

Liczba losów, które wygrają na loterii - 5

Liczba biletów, które dają prawo do wylosowania kolejnego losu - 3

Są 4 przypadki tego problemu, gdy wylosuje los wygrywający

I przypadek

Wylosowaliśmy los od razu wygrywający, zatem prawdopodobieństwo wynosi:

\(\displaystyle{ P=\frac{5C1}{27C1}=\frac{\left( \begin{align}
& 5 \\
& 1 \\
\end{align} \right)}{\left( \begin{align}
& 27 \\
& \,\,1 \\
\end{align} \right)}=\frac{5}{27}}\)

5C1 czytaj jako spośród 5 losów wygrywających wybieram 1 (C - kombinacja)
\(\displaystyle{ 27C1}\) czytaj jako spośród 27 wszystkich losów w loterii

II przypadek
Wylosowaliśmy los który, uprawniający do kolejnego losowania. A następnie wylosowałem los wygrywa
Etap 1:

\(\displaystyle{ P=\frac{3C1}{27C1}=\frac{\left( \begin{align}
& 3 \\
& 1 \\
\end{align} \right)}{\left( \begin{align}
& 27 \\
& \,\,1 \\
\end{align} \right)}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}}\)

3C1 czytaj jako spośród 3 losów uprawniających do ponownego losowania wybieram 1 (C - kombinacja)
\(\displaystyle{ 27C1}\) czytaj jako spośród 27 wszystkich losów w loterii

Etap 2:
Liczę prawdopodobieństwo wylosowania losu wygrywającego
Teraz losów jest w loterii 27 – 1 (ten wylosowałem wcześniej, jest to los uprawniający do ponownego losowania)

5C1 – spośród 5 losów wygrywających dostępnych w loterii losuje 1
26C1 – spośród 26 losów dostępnych w loterii wybieram jeden

Prawdopodobieństwo wynosi:

\(\displaystyle{ P=\frac{\left( \begin{align}
& 5 \\
& 1 \\
\end{align} \right)}{\left( \begin{align}
& 26 \\
& \,1 \\
\end{align} \right)}=\frac{5}{26}}\)

Prawdopodobieństwo całkowite w tym przypadku:

\(\displaystyle{ P=\frac{5}{26}\cdot \frac{1}{9}=\frac{5}{234}}\)

III przypadek
Jeśli ktoś trafi dwa razy pod rząd los uprawniających do ponownego losowania, a następnie wylosowałem los wygrywający.

\(\displaystyle{ P=\frac{3C1}{27C1}\cdot \frac{2C1}{25C1}\cdot \frac{5C1}{24C1}=\frac{\left( \begin{align}
& 3 \\
& 1 \\
\end{align} \right)}{\left( \begin{align}
& 27 \\
& \,\,1 \\
\end{align} \right)}\cdot \frac{\left( \begin{align}
& 2 \\
& 1 \\
\end{align} \right)}{\left( \begin{align}
& 25 \\
& \,1 \\
\end{align} \right)}\cdot \frac{\left( \begin{align}
& 5 \\
& 1 \\
\end{align} \right)}{\left( \begin{align}
& 24 \\
& \,\,1 \\
\end{align} \right)}=\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{25}\cdot \frac{5}{24}=\frac{1}{540}}\)

IV przypadek
Jeśli ktoś trafi trzy razy pod rząd los uprawniających do ponownego losowania, a następnie wylosowałem los wygrywający.

Prawdopodobieństwo wylosowania losu, który daje prawo do wylosowania kolejnego losu \(\displaystyle{ \frac{3C1}{27C1}=\frac{\left( \begin{align}
& 3 \\
& 1 \\
\end{align} \right)}{\left( \begin{align}
& 27 \\
& \,1 \\
\end{align} \right)}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}}\)

Prawdopodobieństwo wylosowania losu, który daje prawo do wylosowania kolejnego losu \(\displaystyle{ \frac{2C1}{25C1}=\frac{2}{25}
}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania losu, który daje prawo do wylosowania kolejnego losu\(\displaystyle{ \frac{3C3}{24C1}=\text{ }\frac{1}{24}}\)

Prawdopodobieństwo wylosowania losu, który daje wygraną \(\displaystyle{ \frac{5C1\text{ }}{23C1}=\frac{5}{23}}\)

Całkowite prawdopodobieństwo wygranej w loterii

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{25}\cdot \frac{1}{24}\cdot \frac{5}{23}=\frac{1}{12420}}\)

Stąd, całkowite prawdopodobieństwo wygranej w loterii poprzez zakup jednego losu jest równe

\(\displaystyle{ P_f=\frac{5}{27}+\frac{5}{234}+\frac{1}{540}+\frac{1}{12420}\approx 0.2084850}\)


Chociaż w odp. jest \(\displaystyle{ P=\frac{5}{24}\approx 0.208\left( 3 \right)}\) Czyli moje rozwiązanie jest bliskie z tym co jest w odpowiedziach.

Oczywście ja gdzieś popełniłem błąd niestety. Gdzie ?

A drugie ptyanie dotyczące czy można policzyć to zadanie krócej ?

[Bozydar12]

III przypadek
Jeśli ktoś trafi dwa razy pod rząd los uprawniających do ponownego losowania, a następnie wylosowałem los wygrywający.

\(\displaystyle{ P=\frac{3C1}{27C1}\cdot \frac{2C1}{25C1}\cdot \frac{5C1}{24C1}}\)

Oczywiście mianownikiem nie jest 25, a 26 i odpowiednio nie 24, a 25.