Własność braku pamięci rozkładu geometrycznego

[Bozydar12]

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład geometryczny Ge(p), to dla wszystkich m ≥ 0
oraz n ≥ 0 zachodzi:
\(\displaystyle{ P(X≥ m + n|X ≥ m) = P(X ≥ n)}\)
Mam jedno pytanie odnośnie zapisu przykładowo, aby to udowodnić : \(\displaystyle{ P(X \ge n) = 1-P(X<n)}\)
I teraz chciałbym zapisać \(\displaystyle{ P(x<n)=1- \sum_{k=1}^{n-1} p(1-p) ^{k-1} }\)
\(\displaystyle{ P(X≥ m + n|X ≥ m) = \frac{P(X \ge m+n)}{P(X \ge m)} = \frac{1-P(X<n+m)}{1-P(X<m)} = \frac{1- \sum_{k=1}^{n+m-1} p(1-p) ^{k-1} }{1- \sum_{k=1}^{m-1}p(1-p) ^{k-1} } }\) Czy odpowiednie prawdopodobieństwa zapisałem w dobry sposób?
Edit. Czy nie powinienem zacząć sumować od 0 a potęgować do k?

[janusz47]

Jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład geometryczny \(\displaystyle{ \mathcal{Ge}(p), }\) to dla wszystkich \(\displaystyle{ m ≥ 0 }\) oraz \(\displaystyle{ n ≥ 0 }\) zachodzi:

\(\displaystyle{ P(X≥ m + n|X ≥ m) = P(X ≥ n)}\)

Dowód

\(\displaystyle{ P(X≥ m + n|X ≥ m) = \frac{P(\{X \geq m+n , X\geq m\})}{P(\{X \geq m\})} = \frac{P(\{X\geq m+n\})}{P(\{X \geq m\})} = \frac{(1-p)^{m+n}}{(1 -p)^{m}} = (1- p)^{n} = P( \{ X \geq n\}) }\)

c.b.d.o.