Prawdopodobieństwo warunkowe - rozkład ujemny dwumianowy

[Bozydar12]

Niech\(\displaystyle{ X _1{} , X _{2} }\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie
\(\displaystyle{ NB(2, 0.75)}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(X _{1} = 3|X _{1} + X _{2} = 6)}\).

Zacząłem:
\(\displaystyle{ P(X _{1} = 3|X _{1} + X _{2} = 6) = \frac{P(X _{1} = 3 \cap X _{1} + X _{2} = 6)}{P(X _{1} + X _{2} = 6)} }\), stąd
\(\displaystyle{ P(X _{1} = 3|X _{1} + X _{2} = 6) =\frac{P(X _{1} = 3 \cap X _{2} = 3)}{P(X _{1} + X _{2} = 6)}}\)
Tutaj mam problem, wiem jak obliczyć \(\displaystyle{ P(X _{1}=3)=P(X _{2}=3)= {4 \choose 3} (\frac{3}{4}) ^{2} ( \frac{1}{4}) ^{3} }\), jednak nie wiem w jaki sposób miałbym obliczyć te dwa prawdopodobieństwa z zadania.

Edit:Czy to, że są niezależnymi zmiennymi losowymi, oznacza że dla licznika mogę pomnożyć ich prawdopodobieństwa? A dla licznika z prawdopodobieństwa, z prawdopodobieństwa warunkowego, \(\displaystyle{ P(X1+X2=6|X1=1 \cap X2=5) \cdot P(X1=1 \cap X2=5)+...}\) licząc kolejne przypadki, i zakładając, że \(\displaystyle{ P(X1+X2=6|X1=1 \cap X2=5)=1}\)?

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ X_{1}, \ X_{2}}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{1}=3, X_{2}=3)=\mathbf{P}(X_{1}=3)\mathbf{P}(X_{2}=3)}\)
A żeby znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X_{1}+X_{2}}\), posłuż się splotem.

[Bozydar12]

A żeby znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X_{1}+X_{2}}\), posłuż się splotem.

\(\displaystyle{ P(X1+X2=6)=P(X1+X2=6|X1=0 \cap X2=6) \cdot P(X1=0 \cap X2=6)+P(X1+X2=6|X1=1 \cap X2=5)P(X1=1 \cap X2=5)+...}\) licząc kolejne przypadki, i zakładając, że \(\displaystyle{ P(X1+X2=6|X1=1 \cap X2=5)=P(X1+X2=6|X1=0 \cap X2=6)=1 }\)? O coś takiego się rozchodzi?

[Premislav]

Tak, o coś takiego, tylko w trochę zbyt skomplikowany sposób to zapisałeś, gdyż to się upraszcza:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{1}+X_{2}=6|X_{1}=0\cap X_{2}=6)\cdot \mathbf{P}(X_{1}=0\cap X_{2}=6)=\mathbf{P}(X_{1}=0\cap X_{2}=6)}\), ponieważ ten pierwszy czynnik jest w sposób oczywisty równy \(\displaystyle{ 1}\) (siłą rzeczy, jeśli \(\displaystyle{ X_{1}=0, \ X_{2}=6}\), to też \(\displaystyle{ X_{1}+X_{2}=0+6=6}\)).
Tu nic nie trzeba „zakładać", tylko po prostu tak wychodzi, że te czynniki są jedynkami.
Dobrze to widzieć w troszkę większej ogólności. Jeśli \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie dyskretnym skupionym na \(\displaystyle{ \NN}\), to dla \(\displaystyle{ n\in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{1}+X_{2}=n)=\sum_{k=0}^{n}\mathbf{P}(X_{1}=k, \ X_{2}=n-k)=\sum_{k=0}^{n}\mathbf{P}(X_{1}=k)\mathbf{P}(X_{2}=n-k)}\)

[Bozydar12]

Dokładnie o to mi chodziło, dzięki wielkie.