Rozkład pewnej zmiennej

[KotDrewniany1997]

Niech \(\displaystyle{ P(x) = c(\frac{1}{3})^{k}}\) dla \(\displaystyle{ k = 0,1,2,...}\). Dla jakiego \(\displaystyle{ c}\) jest to rozkład pewnej zmiennej?

Czy mógłby ktoś wyjaśnić, na czym polega to zadanie? Jakiego \(\displaystyle{ c}\) mam szukać? Nie rozumiem polecenia.

[Janusz Tracz]

Wskazówka: Wszystkie te prawdopodobieństwa razem wzięte muszą dać \(\displaystyle{ 1}\).

[KotDrewniany1997]

Czyli

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} c(\frac{1}{3})^{n} = 1}\)

Żeby znaleźć \(\displaystyle{ c}\) mam obliczyć granicę

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty} (c+\frac{1}{3}c+\frac{1}{9}c+\frac{1}{27}c+...+c(\frac{1}{3})^{n})}\)

Jak otrzymam wynik to z niego obliczam niewiadomą c?

Metodą prób i błędów i kalkulatorem znalazłam zmienną \(\displaystyle{ c}\) i wiem że równa się \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

[Janusz Tracz]

Czyli

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} c(\frac{1}{3})^{n} = 1}\)

Tak.

Żeby znaleźć \(\displaystyle{ c}\) mam obliczyć granicę

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty} (c+\frac{1}{3}c+\frac{1}{9}c+\frac{1}{27}c+...+c(\frac{1}{3})^{n})}\)

Jak otrzymam wynik to z niego obliczam niewiadomą c?

Tak, choć ładniej było by powiedzieć, że musze tak dobrać \(\displaystyle{ c}\) aby graniac była równa \(\displaystyle{ 1}\) bo de facto to nie masz jej liczyć bo wiesz, że granica to \(\displaystyle{ 1}\). Pytanie tylko kiedy. Ale to czepialski szczegół. Niemniej jednak:

Metodą prób i błędów i kalkulatorem znalazłam zmienną \(\displaystyle{ c}\) i wiem że równa się \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Tak. Metoda nie prób (i nie błędów miejmy nadzieję...) i nie tak formalna jak granica (bo zastosowanie granicy jest tu niepotrzebnym formalizmem) polega na zauważaniu, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Stałą \(\displaystyle{ c}\) można wyłączyć przed sumę czyli piszemy

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} c\left( \frac{1}{3}\right) ^{n} =c \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3}\right) ^{n}= 1}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) A potem zauważamy, że ta suma to zwykły szereg geometryczny zatem piszemy

\(\displaystyle{ c \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3}\right) ^{n}= 1}\)

\(\displaystyle{ c \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{3} } = 1}\)

\(\displaystyle{ c \cdot \frac{1}{ \frac{2}{3} } = 1}\)

\(\displaystyle{ c=\frac{2}{3}}\)