Farma ryb - rozkład dwumianowy

[Bozydar12]

W jeziorze jest tysiąc ryb, w tym sto ryb zaobrączkowanych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród dziesięciu złowionych ryb będzie co najmniej siedem ryb zaobrączkowanych.

\(\displaystyle{ P(7 \le X \le 10) =\\= {10 \choose 7} \cdot \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot ... \cdot 94 \cdot 900 \cdot 899 \cdot 898}{1000 \cdot 999 \cdot 998 \cdot ... \cdot 990} + {10 \choose 8} \cdot \frac{100 \cdot ... \cdot 93 \cdot 900 \cdot 899}{1000 \cdot ... \cdot 990}+ {10 \choose 9} \frac{100 \cdot ... \cdot 92 \cdot 900}{1000 \cdot ... \cdot 990} + {10 \choose 10} \frac{100 \cdot ... \cdot 91}{1000 \cdot ... \cdot 990} }\) Czy jest to poprawnie rozpisane prawdopodobienstwo dla tego zadania? Czy jest jakiś sposób, żeby to sensownie policzyć?

[janusz47]

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}\left( \frac{100}{1000}, 10 \right) = \mathcal{B}\left( \frac{1}{10}, 10 \right).}\)

\(\displaystyle{ Pr(\{ X \geq 7\}) = \sum_{n=7}^{10} {10\choose n} \left(\frac{1}{10}\right)^{n} \left(1 -\frac{1}{10}\right)^{10-n} }\)

[Bozydar12]

Czy nie powinienem brać jednak pod uwagę tego, że ilość ryb się zmienia?

[janusz47]

To jest zadanie z listy zadań na rozkład dwumianowy- Bernoulliego. Zakładamy, połowy ryb są od siebie niezależne i prawdopodobieństwo sukcesu - wylosowania ryby zaobrączkowanej w każdym łowieniu jest stałe i równe \(\displaystyle{ p = \frac{1}{10}.}\)

[Bozydar12]

Czyli powinienem napisać, iż skoro zmienna losowa \(\displaystyle{ X∼B( \frac{100}{1000},10) }\), to zakładam iż prawdopodobieństwo sukcesu jest zawsze stałe i wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\)? Chce zrozumieć, dlaczego uwzględniam stałe prawdopodobieństwo, a nie prawdopodobieństwa, gdzie ilość ryb się zmienia. W zadaniu wyciągam jakoby 10 ryb "naraz", a nie po kolei, dobrze rozumiem?

[Janusz Tracz]

Zakładamy, połowy ryb są od siebie niezależne i prawdopodobieństwo sukcesu - wylosowania ryby zaobrączkowanej w każdym łowieniu jest stałe i równe \(\displaystyle{ p = \frac{1}{10}.}\)

Skąd takie założenie? Dlaczego połowy są niezależne skoro w stawie pływa \(\displaystyle{ 1000}\) ryb i gdy się jakąś wyciągnie to pływa ich już \(\displaystyle{ 999}\) itd? Jeśli wyciągniemy rybę bez obrączki to prawdopodobieństwo wyciągnięcia ryby z obrączką wzrasta wszak stosunek zaobrączkowanych do wszystkich się zwiększył. Nie rozumiem też po co w takim razie pisać

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}\left( \red{\frac{100}{1000}}, 10 \right) }\)

skoro populacja nie ma tu nic do rzeczy (na to wychodzi przy założenie, że prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p}\) jest stałe). No i gdy zastosowałem takie rozumowanie do pytania o prawdopodobieństwo złapania co najmniej jednej zaobrączkowanej sztuki w \(\displaystyle{ 901}\) próbach nie otrzymałem \(\displaystyle{ 1}\). Niech \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zaobrączkowaną rybę. Według twojego wzoru

\(\displaystyle{ \text{P}\left( Z \text{ w } 901 \text{ próbach}\right) = \sum_{n=1}^{901} {901\choose n} \left(\frac{1}{10}\right)^{n} \left(1 -\frac{1}{10}\right)^{901-n} \neq 1 }\)

A według mnie jak w stawie pływa \(\displaystyle{ 1000}\) ryb z czego \(\displaystyle{ 100}\) zaobrączkowanych to jak złapiemy \(\displaystyle{ 901}\) to na pewno jakaś będzie miała obrączkę.

Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 10}\) zaobrączkowanych to według mnie:

\(\displaystyle{ \text{P}\left( Z_1 \cap Z_2 \cap ... \cap Z_{10}\right) = \\ = \text{P}\left( Z_{10} | Z_1 \cap Z_2 \cap ... \cap Z_{9}\right) \cdot \text{P}\left( Z_1 \cap Z_2 \cap ... \cap Z_{9}\right) \\ =\text{P}\left( Z_{10} | Z_1 \cap Z_2 \cap ... \cap Z_{9}\right) \cdot \text{P}\left( Z_9| \cap Z_1 \cap ... \cap Z_{8}\right) \cdot \text{P}\left( Z_1 \cap ... \cap Z_{8}\right) \\ =

\text{P}\left( Z_{10} | Z_1 \cap Z_2 \cap ... \cap Z_{9}\right) \cdot \text{P}\left( Z_9| \cap Z_1 \cap ... \cap Z_{8}\right) \cdot \text{P}\left( Z_8| Z_1\cap ... \cap Z_{7}\right) \cdot \text{P}\left( Z_1\cap ... \cap Z_{7}\right) \\ = ... = \\ = \text{P}\left( Z_1\right) \cdot \prod_{i=2}^{10} \text{P}\left( Z_i\Bigg| \bigcap_{j=1}^{i-1} Z_j\right)

}\)

Co oznacza, że \(\displaystyle{ 10}\) zaobrączkowanych wyciągniemy wtedy gdy przed chwilą mieliśmy \(\displaystyle{ 9}\) zaobrączkowanych i teraz wyciągamy \(\displaystyle{ 10}\). Aby to miało miejsce jeszcze wcześniej musieliśmy mieć \(\displaystyle{ 8}\) zaobrączkowanych i wyciągnąć \(\displaystyle{ 9}\) zaobrączkowaną itd. aż dochodzimy do momentu w którym wyciągamy pierwszą zaobrączkowaną z \(\displaystyle{ \text{P}\left( Z_1\right)= \frac{100}{1000} }\). Potem populacja całkowita się zmniejszyła ale zaobrączkowanych też jest mniej czyli \(\displaystyle{ \text{P}\left( Z_2|Z_1\right)= \frac{99}{999} }\) itd.

\(\displaystyle{ \text{P}\left( Z_1 \cap Z_2 \cap ... \cap Z_{10}\right) = \frac{100}{1000} \cdot \frac{99}{999} \cdot ... \cdot \frac{91}{991} }\)

Nazwijmy to

\(\displaystyle{ \text{P}\left( \blue{10Z}\right) =\blue{ \frac{100}{1000} \cdot \frac{99}{999} \cdot ... \cdot \frac{91}{991}} }\)

I to oznacza prawdopodobieństwo wyciągnięcia dokładnie \(\displaystyle{ 10}\) zaobrączkowanych ryb w \(\displaystyle{ 10}\) próbach. Tera należy policzyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 9}\) zaobrączkowanych w \(\displaystyle{ 10}\) próbach. Niech

\(\displaystyle{ \text{P}\left( X_1 \cap X_2 \cap ... \cap X_{10}\right)}\)

gdzie: \(\displaystyle{ 9}\) takich \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ Z}\) czyli zaobrączkowane i dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ N}\) czyli niezaobrączkowana, oznacza szukane prawdopodobieństwo. I tu kluczowe jest zauważenie, że jest to niezależne od miejsca w którym stroi \(\displaystyle{ N}\) mamy zatem \(\displaystyle{ {10 \choose 1} }\) (lub tak jak Ty zauważyłeś \(\displaystyle{ {10 \choose 9} }\)) takich ustawień \(\displaystyle{ NZZZ...Z}\) oraz \(\displaystyle{ ZNZZ...Z}\) aż do \(\displaystyle{ ZZZZ...N}\) a prawdopodobieństwo każdego z nich to z osobna to \(\displaystyle{ \green{\frac{900}{1000}} \cdot \blue{ \frac{100}{999} \cdot \frac{99}{998} \cdot ... \cdot \frac{92}{991}} }\) (z tego samego względu co pisałem wcześniej) czyli ostatecznie prawdopodobieństwo złapania \(\displaystyle{ 9}\) zaobrączkowanych w \(\displaystyle{ 10}\) próbach to

\(\displaystyle{ \text{P}\left( \green{1N},\blue{9Z}\right)={10 \choose 1} \green{\frac{900}{1000}} \cdot \blue{ \frac{100}{999} \cdot \frac{99}{998} \cdot ... \cdot \frac{92}{991}} }\)

Analogicznie dla

\(\displaystyle{ \text{P}\left( \green{2N},\blue{8Z}\right) ={10 \choose 2} \green{\frac{900}{1000} \cdot \frac{899}{999} } \cdot \blue{ \frac{100}{998} \cdot \frac{99}{998} \cdot ... \cdot \frac{93}{991}} }\)

oraz

\(\displaystyle{ \text{P}\left( \green{3N},\blue{7Z}\right) ={10 \choose 3} \green{\frac{900}{1000} \cdot \frac{899}{999} \cdot \frac{898}{998}} \cdot \blue{ \frac{100}{997} \cdot \frac{99}{998} \cdot ... \cdot \frac{94}{991}} }\)

I ostatecznie

\(\displaystyle{ \text{P}\left( 7Z \cup 8Z \cup 9Z \cup 10Z\right)= \text{P}\left( \green{3N},\blue{7Z}\right)+\text{P}\left( \green{2N},\blue{8Z}\right)+\text{P}\left( \green{1N},\blue{9Z}\right)+\text{P}\left( \blue{10Z}\right) }\)

Zatem ideowo Twoje (@Bozydar12) pierwsze rozwiązanie wydaje mi się porwane ale chyba numerowanie ci się pomyliło w mianownikowych bo u mnie kończy się na \(\displaystyle{ 991}\) a u Ciebie na \(\displaystyle{ 990}\). Niemniej jednak może to ja się gdzieś pomyliłem (jak by ktoś to sprawdzał i doczytał do tego momentu to proszę dać znać) więc nie przyjmuj bezkrytycznie wszystkiego co tu napisałem.

[Bozydar12]

Tak, oczywiście numerowanie do 991, oprócz tego to chyba mam to samo, bo ze wzoru Newtona wychodzi mi to samo bo \(\displaystyle{ {10 \choose 3} = {10 \choose 7} }\), itd. Więc miałem dobrze ideowo, poza rachunkami, dzięki za pomoc.

[janusz47]

To zadanie jest z listy zadań na rozkład dwumianowy dla wartości \(\displaystyle{ p = 0,1.}\)

Z twierdzenia de Moivre'a - Laplace'a

\(\displaystyle{ Pr (\{7 \leq X \leq 10\}) = Pr \left(\frac{7 - 10 \cdot 0,1}{\sqrt{10 \cdot 0,1 \cdot 0,9}} \leq Z \leq \frac{7 + 10 \cdot 0,1}{\sqrt{10 \cdot 0,1 \cdot 0,9}} \right) = \approx \phi(6.3246) - \phi(8,4327) \approx 1,27\cdot 10^{-10} \approx 0. }\)

R

Kod: Zaznacz cały

pnorm(8.4327)- pnorm(6.3246)
[1] 1.269447e-10

[Janusz Tracz]

To jest zadanie z listy zadań na rozkład dwumianowy- Bernoulliego.
To zadanie jest z listy zadań dotyczących rozkładu dwumianowego

Nie rozumiem argumentu. Czyli mówisz, że jak bym przepisał to zadania na listę z równań różniczkowych to ułożyłbyś równanie różniczkowe?

przyjmując stałą wartość \(\displaystyle{ p= \frac{1}{10} }\) dla czterech losowań

Rozumiemy co się dzieje gdy przyjmujesz stałą wartość. Pytanie dotyczy czemu przyjmujesz stałą wartość skoro liczba ryb się zmienia i wartość ta nie jest stała.

[janusz47]

Jeśli z \(\displaystyle{ 1000 }\) ryb liczb łowimy \(\displaystyle{ 10 }\) ryb i jeszcze z tych \(\displaystyle{ 10 }\) wyłowionych pytamy o prawdopodobieństwo zdarzenia, że ilość wyłowionych liczb zaobrączkowanych będzie należała do przedziału \(\displaystyle{ [ 7, 10], }\) to budując model dwumianowy możemy przyjąć że \(\displaystyle{ p = \frac{1}{10}.}\)

W zbiorach zadań Zielińskiego , Kwaśnego - zadanie należy do listy zadań na rozkład dwumianowy- Bernoulliego.

Jest to typ zadania, który w statystyce należy do zadań służących do określania liczby ryb zaobrączkowanych w zbiornikach wodnych metodami: rozkładu hipergeometrycznego, podstawiania częstości lub metodą momentów.

O tym na przykład pisze w swoim skrypcie Andrzej Dąbrowski Statystyka Matematyczna Wyd. Uniwersytetu Wrocławskiego Wrocław 2000.

[Bozydar12]

Czyli rozchodzi się o to, że przyjmując model ze stałym prawdopodobieństwem suckesu \(\displaystyle{ \frac{1}{10} }\), błąd takiego przybliżenia będzie na tyle mały, że możemy go stosować? Bo tak w zasadzie to, że zadanie jest na pewnej liście zadań do mnie nie przemawia.

[janusz47]

O to właśnie chodzi.