Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa

[Bozydar12]

Dla pewnego \(\displaystyle{ a}\) funkcja jest funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ a}\) oraz oraz znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ ξ}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(X \in (0,5;1,5)}\).

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4|ax| ^{3} } &\text{dla }|x| \ge 1 \\ 0 &\text{dla } |x|<1 \end{cases} }\).

Wyliczyłem \(\displaystyle{ a = \frac{1}{ \sqrt[3]{4} }}\).

Wtedy \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x ^{3}} &\text{dla } x \ge 1 \\ \frac{-1}{x ^{3} } &\text{dla } x \le -1 \\ 0 &\text{dla } x \in (-1,1) \end{cases} }\).

Mam problem z wyznaczeniem dystrybuanty takiej gęstości. Jak mam to zrobić?

[Tmkk]

Na prostej - jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość, to znaczy, że dla każdego zbioru bolewskiego

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \in B) = \int_B f(x)dx}\).

W szczególności, aby wyznaczyć dystrybuantę, wystarczy policzyć

\(\displaystyle{ F_X(t) = \mathbb{P}(X \le t) = \int_{-\infty}^t f(x)dx}\).

Oczywiście, ze względu na postać \(\displaystyle{ f(x)}\) trzeba będzie podzielić na przypadki względem \(\displaystyle{ t}\).

[Bozydar12]

Czyli powinienem obliczyć całki \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{t} \frac{dx}{x ^{3} } }\), następnie
\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{-1} \frac{dx}{x ^{3} }+\int_{ -1 }^{t} 0dx }\), a w końcu \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{-1} \frac{dx}{x ^{3} }+\int_{ -1 }^{1} 0dx + \int_{1}^{t} \frac{-dx}{x ^{3} } }\) dla odpowiadajćych przedziałów w tym przypadku \(\displaystyle{ t \le 1, t \in (-1,1), t \ge 1}\), zgadza się?

[Tmkk]

Dokładnie (tylko znaki na odwrót w prawie wszystkich całkach).

[Bozydar12]

Czyli odpowiedzią dla kolejnych całek moim zdaniem jest

\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{x} \frac{dt}{t ^{3} } = - \frac{1}{2x^2} }\),
\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{-1} \frac{dx}{x ^{3} }+\int_{ -1 }^{x} 0dt = - \frac{1}{2} }\), \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{-1} \frac{dt}{t ^{3} }+\int_{ -1 }^{1} 0dt + \int_{1}^{x} \frac{-dt}{t ^{3} } = \frac{1}{2x ^{2} } -1 }\) dla odpowiadajćych przedziałów w tym przypadku \(\displaystyle{ x \le 1, x \in (-1,1), x \ge 1}\),

Tylko nie za bardzo rozumiem czym w tym przypadku jest wynik tej drugiej całki, wynik nie może wyjść ujemny, mam rację?

[Tmkk]

Masz rację, bo tak jak pisałem, w każdej niezerowej całce masz zły znak. Na przykład dla \(\displaystyle{ x \le -1}\) powinno być \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x} \frac{dt}{-t^3}dt}\). Tak mówi wzór na gęstość, który napisałeś.

[Bozydar12]

Ah faktycznie, moduł nie w tą stronę wziąłem, wszystko jasne, od złej strony z kartki spisałem :> Dzieki za pomoc.

Dodano po 14 minutach 29 sekundach:
Czyli całki \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{x} - \frac{dt}{t^3} = \frac{1}{2x ^{2} } }\), \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} - \frac{dt}{t^3} + \int_{-1}^{t} 0dt = \frac{1}{2} }\), \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} - \frac{dt}{t^3} + \int_{-1}^{t} 0dt + \int_{1}^{x} \frac{dt}{t^3} = 1 - \frac{1}{2x ^{2} } }\)

[Tmkk]

Tak, tylko w trzeciej całce powinno być \(\displaystyle{ x}\) w górnej granicy, a w piątej \(\displaystyle{ 1}\), też w górej granicy.

Mała rada. Dla sprawdzenia, może upewnić się, że funkcja, która wyszła zachowuje się jak dystrybuanta (czyli np. że ma odpowiednie granice w nieskończonościach i jest niemalejąca). Dodatkowo, możesz zróżniczkować dystrybuantę i zobaczyć, czy wychodzi Ci funkcja z początku zadania (czyli gęstość).

[Bozydar12]

Sprawdziłem to od razu, iż \(\displaystyle{ F( \infty ) = 1}\), oraz \(\displaystyle{ F(- \infty ) = 0}\)