Wykonujemy rzuty monetą aż do otrzymania po raz pierwszy sekwencji jednakowych wyników w dwóch kolejnych rzutach. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Opisałem sobie to tak, iż \(\displaystyle{ P _{i}}\) oznacza,ze rzuty i oraz i-1 dały te same wyniki(dopiero one,wcześniej ich nie ma).
Wtedy \(\displaystyle{ P _{i}= \frac{1}{2 ^{i-1} } }\), jako że pierwszy rzut dowolny, a reszta musi być różna od siebie.
Wykorzystując wzór \(\displaystyle{ EX= \sum_{}^{}x _{i}P _{i} }\) otrzymuję
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } n \cdot \frac{1}{2 ^{n-1} } }\). Jak to dalej wyliczyć? Wychodzi 3, nie wiem jednak jak to wyliczyć.
Rzuty kostką
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rzuty kostką
Niech \(\displaystyle{ S=\sum_{n=2}^{\infty}n\cdot \frac{1}{2^{n-1}}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ S}\) jest skończona, bo szereg o wyrazach \(\displaystyle{ n\cdot \frac{1}{2^{n-1}}}\) jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.
Mamy
\(\displaystyle{ 2S=\sum_{n=2}^{\infty}n\cdot \frac{1}{2^{n-2}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n-2}}+\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)\cdot \frac{1}{2^{n-2}}=2+1+\sum_{n=2}^{\infty}n \cdot \frac{1}{2^{n-1}}=3+S}\)
stąd \(\displaystyle{ S=3}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ S}\) jest skończona, bo szereg o wyrazach \(\displaystyle{ n\cdot \frac{1}{2^{n-1}}}\) jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.
Mamy
\(\displaystyle{ 2S=\sum_{n=2}^{\infty}n\cdot \frac{1}{2^{n-2}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n-2}}+\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)\cdot \frac{1}{2^{n-2}}=2+1+\sum_{n=2}^{\infty}n \cdot \frac{1}{2^{n-1}}=3+S}\)
stąd \(\displaystyle{ S=3}\)