Stochastyczne równania różniczkowe, jak liczyć różniczke

[buncolgit]

Hej muszę rozwiązać następujące równanie stochastyczne:
\(\displaystyle{ dX_t=-X_tdt+e^{-t}dW_t, X_0=x_0\in\mathbb{R}}\)

Znalazłem pewien algorytm rozwiązywania równań tej postaci:
\(\displaystyle{ f(t)=-1, g(t)=0, h(t)=e^{-t}}\)
\(\displaystyle{ dX_t+X_tdt=e^{-t}dW_t}\)
Teraz mnożę przez czynnik całkujący: \(\displaystyle{ e^{\int_0^t f(s)ds}=e^{-t}}\)
\(\displaystyle{ e^{-t}dX_t-e^{-t}X_tdt=e^{-2t}dW_t}\)
I teraz lewa strona jest różniczką \(\displaystyle{ d(e^{\int_0^t f(s)ds}\cdot X_t)=d(e^{-t}X_t)}\), tylko nie wiem jak się liczy taką różniczkę Poda ktoś wzór? Bo chcialbym miec pewnosc ze faktycznie tak jest.
Czyli \(\displaystyle{ d(e^{-t}X_t)=e^{-2t}dW_t}\)
Dalej zakładając że to jest prawda pozbywam się różniczki:
\(\displaystyle{ e^{-t}X_t-e^{0}X_0=\int_0^te^{-2s}dWs}\)
\(\displaystyle{ X_t=x_0e^{t}+e^{t}\int_0^te^{-2s}dWs}\)
I tutaj ponownie nie wiem jak sprawdzić że rozwiązanie jest poprawne czyli jak to zróżniczkować żeby dostać to co na początku. Pomoże ktoś i poda wzór? I czy wszystko co robiłem po drodze jest ok?

Dodano po 1 godzinie 58 minutach 52 sekundach:
Na pierwsze pytanie już znam odpowiedź Tylko jak sprawdzić że otrzymany wynik faktycznie jest rozwiązaniem równania różniczkowego?

[Tmkk]

Wstawiając go do wyjściowego równania.

[buncolgit]

Wstawiając go do wyjściowego równania.

No tak A wiesz może jak odpowiedzieć na pytanie czy rozwiązanie istnieje w dowolnym przedziale czasowym? Gdy np. wyjdzie nam wynik \(\displaystyle{ X_t=\frac{1}{1-W_t}}\)? Na co trzeba zwrócić uwagę?

[Tmkk]

Gdy wynik to \(\displaystyle{ X_t = \frac{1}{1-W_t}}\), to nie może to być rozwiązanie w dowolnym przedziale czasowym, bo proces Wienera p.n w skończonym czasie przyjmie wartość \(\displaystyle{ 1}\).

Wracając do Twojego równania, wynik, który Ci wyszedł nie jest dobry i widać to własnie na przykład wstawiając Twoje rozwiązanie do wyjściowego równania.

[buncolgit]

Gdy wynik to \(\displaystyle{ X_t = \frac{1}{1-W_t}}\), to nie może to być rozwiązanie w dowolnym przedziale czasowym, bo proces Wienera p.n w skończonym czasie przyjmie wartość \(\displaystyle{ 1}\).

Wracając do Twojego równania, wynik, który Ci wyszedł nie jest dobry i widać to własnie na przykład wstawiając Twoje rozwiązanie do wyjściowego równania.

Aha czyli rozwiązanie istnieje tylko w przedziale czasowym w którym proces Wienera nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 1}\) tak? Znalazłem błąd e moim rozumowaniu i wyszło ok także ten przykład już rozumiem (zapomniałem o minusie w wykładniku czynnika całkującego). Teraz prosiłbym o pomoc w tym przykładzie:

\(\displaystyle{ dX_t=\frac{-X_t}{2}dt+\sqrt{1-X_t^2}dW_t, X_0=1}\)
Jest to równanie typu \(\displaystyle{ \displaystyle{ dX_t=\frac{1}{2}b(X_t)b'(X_t)dt+b(X_t)dW_t}}\) gdzie\(\displaystyle{ b(s)=\sqrt{1-s^2}}\)
oraz \(\displaystyle{ \displaystyle{ f(t,x)=\int_{x_0}^{x}\frac{ \mbox{d}s }{b(s)}}}\)
Zatem znam wzór dla takich równań:
\(\displaystyle{ df(t,x)=dW_t}\) (bo w formule Ito się wiekszosc skraca). I teraz nie wiem czy robię dobrze:
\(\displaystyle{ \int_{X_0}^{X_t}\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}ds=W_t-W_{X_0}}\)
\(\displaystyle{ \arcsin{X_t}-\arcsin{1}=W_t-W_1}\)
\(\displaystyle{ \arcsin{X_t}=W_t-W_1+\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ X_t=\sin{(W_t-W_1+\frac{\pi}{2})}}\)

Czy tak ma wyglądać rozwiązanie?

[Tmkk]

Prawie. Popraw \(\displaystyle{ W_t - W_{X_0} \to W_t - W_0}\), wtedy lekko zmieni się wynik (zniknie \(\displaystyle{ W_1}\)). Tak to ok.

[buncolgit]

Prawie. Popraw \(\displaystyle{ W_t - W_{X_0} \to W_t - W_0}\), wtedy lekko zmieni się wynik (zniknie \(\displaystyle{ W_1}\)). Tak to ok.

Ok czyli \(\displaystyle{ W_0}\) się skasuje i będzie \(\displaystyle{ X_t=\sin{(W_t +\frac{\pi}{2})}}\) i jak teraz jak sprawdzić że wyszło dobrze? Bo różniczkując np. po \(\displaystyle{ dt}\) będzie zero a ma być\(\displaystyle{ \frac{-X_t}{2}}\)

[Tmkk]

Tak samo jak liczyłeś \(\displaystyle{ df(t,X_t)}\), tak i tutaj, skorzystaj ze wzoru Itô. Wyraz z \(\displaystyle{ dt}\) pojawi się z nawiasu kwadratowego dla procesu Wienera.

[buncolgit]

Faktycznie Mam też problem z nastepujacym rownaniem
\(\displaystyle{ dX_t=e^{X_t}dW_t-\frac{1}{2}e^{-2X_t}dt, X_0=1, f(t,x)=e^x}\)
Liczę dla \(\displaystyle{ W_t}\) bo dla \(\displaystyle{ X_t}\) nic ciekawego nie dostałem
\(\displaystyle{ df(t,W_t)=\frac{1}{2}e^{W_t}dt+e^{W_t}dW_t}\)
\(\displaystyle{ d(e^{W_t})=\frac{1}{2}e^{W_t}dt+e^{W_t}dW_t}\)
I jak to teraz dalej pociągnąć?

[Tmkk]

A jesteś pewny, że dobrze przepisałeś równanie? (na przykład, gdyby było \(\displaystyle{ e^{-X_t}dW_t}\), to byłoby całkiem prosto).

[buncolgit]

A jesteś pewny, że dobrze przepisałeś równanie? (na przykład, gdyby było \(\displaystyle{ e^{-X_t}dW_t}\), to byłoby całkiem prosto).

Racja wkradł się błąd, rozwiązane Mam jeszcze jeden przykład, gdybym sobie nie poradził to będę tu jutro pytał Póki co dzięki wielkie za pomoc

Dodano po 13 godzinach 3 minutach 15 sekundach:
@Tmkk a gdy wyszło mi \(\displaystyle{ X_t=\ln(W_t+e)}\) to odpowiedź również brzmi że nie istnieje rozwiązanie w dowolnym przedziale czasowym bo proces Wienera w skończonym czasie p.n przyjmie wartość mniejszą od \(\displaystyle{ -e}\)?

[Tmkk]

Tak. Może to sprecyzuję.

Niech \(\displaystyle{ \tau_{-e} = \inf\left\{ t\ge 0 \ | \ W_t = -e\right\} }\) będzie pierwszym momentem, kiedy proces Wienera przyjmuje wartości \(\displaystyle{ -e}\). Można pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\tau_{-e} < \infty) = 1}\), więc jeśli pytanie jest: czy \(\displaystyle{ X_t = \ln{(e+W_t)}}\) jest rozwiązaniem w czasie \(\displaystyle{ t \in (0,\infty)}\) , to odpowiedź brzmi - prawie na pewno nie.

Jeśli jednak zapytałbyś się o jakiś konkretny przedział, na przykład \(\displaystyle{ t \in (0,3)}\), to tutaj z kolei można pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\tau_{-e} < 3) = 2\mathbb{P}(W_3 < -e)}\) (z zasady odbicia na przykład). To nie będzie równe \(\displaystyle{ 1}\), ale też nie będzie zerowe, więc można powiedzieć, że w przedziale \(\displaystyle{ t \in (0,3)}\), z jakimś tam prawdopodobieństwem, \(\displaystyle{ X_t = \ln{(e+W_t)}}\) jest rozwiązaniem.