Oblicz prawdopodobieństwo dane wzorem

[Nuna]

Niech \(\displaystyle{ Ω=[0,1], S-σ-}\)ciało borelowskich podzbiorów \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz
\(\displaystyle{ Pr(A)= \int_{0}^{1} 2(1-x) \cdot 1 _{A}(x)dx }\)
gdzie
\(\displaystyle{ 1_{A}(x)= \begin{cases} 1, x∈A \\ 0, x∉A \end{cases} }\)

Oblicz
\(\displaystyle{ Pr([0, \frac{1}{2}]), Pr((0, \frac{1}{2})), Pr([\frac{1}{2}, 1])}\)

Nie za bardzo rozumiem skąd zdeterminować jaką wartość będzie miało \(\displaystyle{ 1_{A}(x)}\) i dlaczego, np. przy obliczaniu \(\displaystyle{ Pr([\frac{1}{2}, 1])}\) zmieniamy granice całkowania na od \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\)do \(\displaystyle{ 1}\)?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 1_{A}(x)= \begin{cases} 1, x∈A \\ 0, x∉A \end{cases} }\)

Nie za bardzo rozumiem skąd zdeterminować jaką wartość będzie miało \(\displaystyle{ 1_{A}(x)}\) i dlaczego, np. przy obliczaniu \(\displaystyle{ Pr([\frac{1}{2}, 1])}\) zmieniamy granice całkowania na od \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\)do \(\displaystyle{ 1}\)?

Wynika to z samej definicji funkcji \(\displaystyle{ 1_A}\). Jest to funkcja indykatorowa zbioru \(\displaystyle{ A}\) i jest równa \(\displaystyle{ 0}\) gdy \(\displaystyle{ x\not\in A}\) a w przeciwnym razie \(\displaystyle{ 1}\). Natomiast sam zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest podany wszak to jego prawdopodobieństwo liczysz. Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \text{Pr}(\red{A})= \int_{0}^{1} 2(1-x) \cdot 1 _{\red{A}}(x) \dd x }\)

zatem:

\(\displaystyle{ \text{Pr}\left( \left[ \frac{1}{2},1 \right] \right) = \int_{0}^{1} 2(1-x) \cdot \blue{1 }_{\left( \left[ \frac{1}{2},1 \right] \right)}(x) \dd x = \int_{0}^{1/2} 2(1-x) \cdot \blue{0} \dd x+\int_{1/2}^{1} 2(1-x) \cdot \blue{1}\dd x = \int_{1/2}^{1} 2(1-x)\dd x }\)

[Nuna]

Bardzo dziękuję, teraz wszystko stało się jasne!
Jeszcze jedno pytanie:
Czy \(\displaystyle{ Pr((0, \frac{1}{2}))}\) jest równe \(\displaystyle{ Pr([0, \frac{1}{2}])}\)?

[a4karo]

Tutaj akurat tak, ale tylko dlatego, że `P(\{0\})=P(\{1/2\})=0`

[Janusz Tracz]

Czy \(\displaystyle{ Pr((0, \frac{1}{2}))}\) jest równe \(\displaystyle{ Pr([0, \frac{1}{2}])}\)?

Tak. Mało tego prawdopodobieństwa te są równe \(\displaystyle{ 1-\text{Pr}\left( \left[ \frac{1}{2},1 \right] \right) }\) wszak \(\displaystyle{ \text{Pr}\left( \Omega \right) =1 }\) i \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2},1 \right]^c=\left[ 0,\frac{1}{2} \right)}\) gdzie dopełniamy naturalnie do \(\displaystyle{ \Omega}\) czyli jest to prawdopodobieństwo przeciwne.