Matematyka.pl

Ale wtedy pierwsza karta musi nie być asem pik.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(}\)as pik jako pierwszy\(\displaystyle{ ) = \frac{1}{52}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(}\)as pik jako drugi\(\displaystyle{ ) = \frac{51}{52}\cdot\frac{1}{51} = \frac{1}{52}}\)

Pomysł sobie nad tym trochę. Analogicznie, prawdopodobieństwo, że po potasowaniu talii kart, asy będą kartami numer \(\displaystyle{ 5,10,40,49}\) jest takie samo (co wydałoby się niesamowitym szczęściem), jak to, że wszystkie cztery asy będą na samej górze talii.

A co do Twojego zadania, chodzi o to, że jeśli jakieś karty realizują wojnę (np 2 asy), to prawdopodobieństwo, że pojawią się one w pierwszej turze jest takie samo, jak prawdopodobieństwo, że pojawią się w drugiej czy dwudziestej turze.

Przykład z asami rozumiem, to że za każdą kolejną kartą wyciagana prawdopodobienstwo jest to samo również, jednak nie wiem dalej jak odnosi się to do zadania, nie bardzo rozumiem które wartości będą zmieniać się we wzorze (bo wydaje mi się że dowiedzenie tego powinno odbyć się dla i-tej wojny, czyli wzór ogólny) .

W zadaniu chodzi o to, aby zauważyć pewną symetrię. Jeśli będziemy się starali liczyć ze wzoru, to z każdą kolejną turą obliczenia będą coraz bardziej komplikowane. Już dla \(\displaystyle{ X_2}\) było to lekko męczące (ale chciałem, abyś zobaczył, że wychodzi to samo, co dla \(\displaystyle{ X_1}\)), a do dopiero dla \(\displaystyle{ X_{20}}\).

Naszym celem jest pokazanie (a przynajmniej uzasadnienie), że niezależnie od tury, \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_i = 1) = \frac{1}{17}}\). Dla ustalenia uwagi, weźmy \(\displaystyle{ i=5}\), czyli piątą turę.

Jeżeli rozumiesz to, co napisałem na temat czterech asów, tutaj mamy bardzo podobną sytuację. Prawdopodobieństwo, że dziewiąta i dziesiąta karta (bo te biorą udział w piątek turze) to as pik i as trefl (czyli wywołują wojnę) jest takie samo, jak prawdopodobieństwo, że pierwsza i druga karta to będzie as pik i as trefl. I tak dla każdej pary, która wywołuje wojnę!

Zatem prawdopodobieństwo, że dziewiąta i dziesiąta karta są jednej wysokości (czyli wywołują wojnę) jest takie samo, jak prawdopodobieństwo, że pierwsza i druga karta będą jeden wysokości. Więc \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_5 = 1) = \mathbb{P}(X_1=1)}\)

Ah, ten przykład doskonale mi to rozjaśnił. Czyli wynika z tego, że tak naprawde wykorzystując ten fakt, można zrobić zadanie w zasadzie licząc tylko to pierwsze prawdopodobieństwo?

Tak, dokładnie.