Oczekiwana liczba wojen

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 18:29

Rozważmy uproszczoną wersję gry w „wojnę”. Talia składa się z \(\displaystyle{ 52}\) kart. Dobrze potasowane karty rozdajemy dwóm graczom, każdemu po \(\displaystyle{ 26}\) i układamy w dwie kupki. Gracze wykładają kolejno po jednej karcie z wierzchu swojej kupki i sprawdzają wysokość obu kart. Jeśli obie wyłożone karty są równej wysokości (dwa asy lub dwa króle itd.) to mówimy, że następuje wojna. Po sprawdzeniu, obie karty odkładamy na bok i nie biorą już one udziału w dalszej grze. Powtarzamy tę procedurę \(\displaystyle{ 26}\) razy; gra kończy się, gdy obaj gracze wyłożą wszystkie karty. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wojen.

Zacząłem swoje rozwiązanie od zapisania
\(\displaystyle{ X}\) - liczba wojen w danej grze.
Aby obliczyć \(\displaystyle{ E(X)}\), obliczę kolejne prawdopodobieństwa dla \(\displaystyle{ X=k}\), gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,3...,26}\).
Tutaj pojawia się problem, nie mam pojęcia jak zabrać się za obliczenie prawdopodobieństwa dla poszczególnych przypadków.
\(\displaystyle{ P(X=0)= \frac{?}{26!\cdot 26! } }\), skoro nie wiem jakie karty mają obie osoby, to nie mogę stwierdzić, że dla 1 wybranej karty jest w ogóle możliwość wojny.
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 21:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1183
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 307 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Tmkk » 25 mar 2020, o 19:04

Zamiast rozdawać graczom karty, łatwiej jest myśleć o tym tak, że oni po prostu losują karty z całej talii. W pierwszej turze gracz \(\displaystyle{ A}\) losuje jedną kartę z \(\displaystyle{ 52}\), gracz \(\displaystyle{ B}\) jedną z \(\displaystyle{ 51}\), itd. Wówczas nie ma problemu z tym, kto jaki zestaw kart dostał, a wychodzi na to samo.

Co do wartości oczekiwanej. Sposób, który zaproponowałeś jest poprawny, ale możesz się nigdy nie doliczyć. Zobacz, ile jest przypadków do rozpatrzenia przy np. \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X = 10)}\). Znacznie wygodniej będzie skorzystać z liniowości wartości oczekiwanej.

Niech \(\displaystyle{ X = X_1 + X_2 + \ldots +X_{26}}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i = 1}\), gdy w \(\displaystyle{ i}\)-tej turze była wojna, \(\displaystyle{ 0}\) w.p.p. W ten sposób zliczymy wszystkie wojny. Wówczas

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \sum_{i=1}^{26} \mathbb{E}X_i = \sum_{i=1}^{26} \mathbb{P}(X_i=1)}\).

Spróbuj więc policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_1 = 1)}\), \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_2 = 1)}\) i ogólnie \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_i = 1)}\).

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 20:44

Wydaje mi się, że w takim razie powinno być tak:
\(\displaystyle{ P(X1=1)= 1 \cdot \frac{3}{51} }\), pierwszy gracz wyciąga kartę,nie ma to znaczenia jaką, drugi gracz musi wybrać jedną z pozostałych 51 kart, aby doprowadzić do wojny.
\(\displaystyle{ P(X2=1)= \frac{3}{49} }\), pierwszy gracz wyciąga kartę, drugi wybiera taką samą z pozostałych 49 kart, jednak gdy występuje sytuacja taka jak w pierwszej(tzn wybrano tą samą kartę co w poprzednim "ruchu"), prawdopodobieństwo nie jest takie samo, jak wykluczyć tę sytuację?
Edit. Czy należy odjąć \(\displaystyle{ \frac{1}{52} \cdot \frac{3}{51} \cdot 13}\), czyli wybór jednej z 52 kart, drugi wybór jednej z 3 kart tego samego rodzaju, razy 13 mozliwych "rodzajów" kart?

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1183
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 307 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Tmkk » 25 mar 2020, o 20:48

Musisz rozpatrzeć dwa przypadki (czyli prawdopodobieństwo całkowite). Albo w pierwszej turze była wojna, albo nie.

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 20:55

Czyli wychodziłoby, iż \(\displaystyle{ P(X_2=1)=P(X_2=1|X_1=0)P(X_1=0)+P(X_2=1|X_1=1)P(X_1=1).}\)
Stąd wychodzi, iż wyliczyłem już \(\displaystyle{ P(X_2=1|X_1=0) = \frac{3}{49}, P(X_1=1)= \frac{3}{51} .}\)
Skoro \(\displaystyle{ P(X_1=0)+P(X_1=1) = 1}\), to \(\displaystyle{ P(X_1=0)= \frac{48}{51} }\). Jedyny problem zostaje mi z \(\displaystyle{ P(X_2=1|X_1=1)}\), zastanawiam się, czy można to policzyć ze wzoru Bayesa.
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 21:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj indeksów dolnych.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1183
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 307 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Tmkk » 25 mar 2020, o 21:00

Bozydar12 pisze:
25 mar 2020, o 20:55
wyliczyłem już \(\displaystyle{ P(X_2=1|X_1=0) = \frac{3}{49}}\)
No nie do końca. Powiedźmy, na przykład, że w pierwszej turze wypadł as pik i król trefl. Jeśli w drugiej turze wypadł as trefl, to drugi gracz nie ma \(\displaystyle{ 3}\) opcji do wojny, tylko \(\displaystyle{ 2}\) (as karo lub kier).
Podobnie liczy się \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_2=1|X_1=1)}\)
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 21:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 21:05

No to w takim wypadku nie mam pojęcia jak to uwzględnić, przecież już przy 3/4 turze jeżeli zdarzy się, iż karta się powtórzy, a wojny nie będzie, to wychodzą coraz to większe ilości możliwości.
Według tego jeżeli wybrano by króla bądź asa w drugiej turze, to prawdopodobieństwo, \(\displaystyle{ P(X_2=1|X_1=0)= \frac{6}{50} \cdot \frac{2}{49}+ \frac{44}{50} \cdot \frac{3}{49} }\), czyli prawdopodobieństwo na wybranie jednej z kart wybranych wcześniej (3 asów i krolów) mnożymy przez prawdopodobieństwo wojny tymi kartami \(\displaystyle{ \frac{2}{49}}\), a reszte kart, razy prawdopodobieństwo wojny dla karty która nie wystąpiła. Ale co jeśli w turze drugiej, wypadnie as i walet?
Jak rozpatrywać wtedy \(\displaystyle{ P(X_3=1|X_2=0 \cap X_1=0)}\)?, wychodzą 3 przypadki, dla asa, dla króla, oraz dla waleta i nie ma wtedy możliwości scharakteryzowania \(\displaystyle{ P(X_i=1)}\).
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 21:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj indeksów dolnych.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1183
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 307 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Tmkk » 25 mar 2020, o 21:33

Na razie dolicz \(\displaystyle{ X_2}\), wynik powinien Ci coś zasugerować.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_2=1|X_1=0)}\) jest dobrze. Teraz policz w ten sam sposób \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_2=1|X_1=1)}\) i wszystko ładnie wymnóż.

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 21:41

Tmkk pisze:
25 mar 2020, o 21:33
\(\displaystyle{ P(X _{2} =1|X _{1} =0)}\) jest dobrze.
\(\displaystyle{ P(X _{2} =1|X _{1} =0)= \frac{6}{50} \cdot \frac{2}{49}+ \frac{44}{50} \cdot \frac{3}{49} }\), rozumiem, że chodzi o to prawdopodobieństwo. W takim razie \(\displaystyle{ P(X2=1|X1=1) = \frac{48}{50} \cdot \frac{3}{49} + \frac{2}{50} \cdot \frac{1}{49} }\), mam rację?

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1183
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 307 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Tmkk » 25 mar 2020, o 21:45

W obu przypadkach powinno być \(\displaystyle{ 49}\). W drugiej turze, pierwszy gracz losuję jedną z \(\displaystyle{ 50}\) kart, potem drugi jedną z \(\displaystyle{ 49}\).

Edit. Tak, jest ok. To ile wychodzi?

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 21:55

Tmkk pisze:
25 mar 2020, o 21:45
W obu przypadkach powinno być \(\displaystyle{ 49}\). W drugiej turze, pierwszy gracz losuję jedną z \(\displaystyle{ 50}\) kart, potem drugi jedną z \(\displaystyle{ 49}\).
Czyli teraz, po poprawieniu, wyliczam \(\displaystyle{ P(X _{2}=1)=\left( \frac{6 \cdot 2}{50 \cdot 49} + \frac{44 \cdot 3}{50 \cdot 49} \right) \cdot \frac{48}{51}+\left( \frac{48 \cdot 3}{50 \cdot 49} + \frac{2 \cdot 1}{50 \cdot 49} \right) \cdot \frac{3}{51} = \frac{144 \cdot 48}{51 \cdot 50 \cdot 49}+ \frac{146 \cdot 3}{51 \cdot 50 \cdot 49}= \frac{7350}{124950} = \frac{1}{17} }\). Jak zabrać się za to dalej?

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1183
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 307 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Tmkk » 25 mar 2020, o 21:58

No własnie. Czyli prawdopodobieństwo wojny w pierwszej turze jest takie samo, jak prawdopodobieństwo wojny w drugiej turze. Myślisz, że to przypadek, czy może wszystkie te prawdopodobieństwa będą równe? Dlaczego?
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 22:05 przez Tmkk, łącznie zmieniany 2 razy.

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 22:03

Myślę, że skoro tak wyszło to nie przypadek, jednak ciężko mi to uzasadnić. zmienia mi się liczba i rodzaj kart, nie wiem dlaczego kolejne losowania nie mają na siebie wpływu.
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 22:09 przez Bozydar12, łącznie zmieniany 2 razy.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1183
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 307 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Tmkk » 25 mar 2020, o 22:05

Wskazówka. Powiedzmy, że chcesz wylosować asa pik. Losujesz sobie dwie karty z talii. Które prawdopodobieństwo jest większe (bez liczenia) - wylosowanie asa pik jako pierwsza karta czy wylosowanie asa pik jako druga karta?

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Re: Oczekiwana liczba wojen

Post autor: Bozydar12 » 25 mar 2020, o 22:10

Wskazówka. Powiedzmy, że chcesz wylosować asa pik. Losujesz sobie dwie karty z talii. Które prawdopodobieństwo jest większe (bez liczenia) - wylosowanie asa pik jako pierwsza karta czy wylosowanie asa pik jako druga karta?
Większe jest prawdopodobieństwo wylosowania go jako drugą kartę, losuje już z mniejszej puli kart, jednak wciąż nie wiem w jaki sposób odnosi się to do tego przykładu.

ODPOWIEDZ