Własność pewnej przestrzeni probabilistycznej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Własność pewnej przestrzeni probabilistycznej

Post autor: TorrhenMathMeth »

\(\displaystyle{ (\Omega, F, \mathbb{P}) }\) jest przestrzenią probabilistyczną. Załóżmy, że należące do \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ F}\) zdarzenia losowe \(\displaystyle{ B_{1},\ B_{2},\ ...,\ B_{100} }\) spełniają warunki:
1. \(\displaystyle{ \forall i \in \{1,2,...,100\} \ \mathbb{P} ( B_{i} ) \ \ge \ \frac{1}{10} }\)

2. \(\displaystyle{ \forall i,j \in \{1,2,...,100\} \ i \neq j \ \ \mathbb{P} ( B_{i} \cap B_{j} ) \le \frac{1}{100} }\)

Czy wynika stąd, że:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{100} B_{i} \right) \ge \frac{1}{2} }\) ?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Własność pewnej przestrzeni probabilistycznej

Post autor: Dasio11 »

Wskazówka:

\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( \bigcup_{i=1}^n B_i \right) \ge \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(B_i) - \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbb{P}(B_i \cap B_j).}\)
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Własność pewnej przestrzeni probabilistycznej

Post autor: TorrhenMathMeth »

A jesteś pewien, że tak jest?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Własność pewnej przestrzeni probabilistycznej

Post autor: Dasio11 »

Dowód idzie przez indukcję na poziomie szkoły średniej, więc tak - jestem tego raczej pewny (acz nigdy nie wiadomo).
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Własność pewnej przestrzeni probabilistycznej

Post autor: TorrhenMathMeth »

Okej, rzeczywiście indukcja prosto załatwi sprawę. Z tym faktem to jest to łatwe dalej, dzięki.
ODPOWIEDZ