Znaleźć przestrzeń probabilistyczną taką, że...

[TorrhenMathMeth]

Skonstruować przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ (\Omega, F, \mathbb{P}) }\) i należące do \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ F}\) zdarzenia losowe \(\displaystyle{ A_{1},\ A_{2},\ ...,\ A_{100} }\) żeby jednocześnie spełnione były warunki:
1. \(\displaystyle{ \forall i \in \{1,2,...,100\} \ \mathbb{P} ( A_{i} ) \ \ge \ \frac{1}{10} }\)

2. \(\displaystyle{ \forall i,j \in \{1,2,...,100\} \ i \neq j \ \ \mathbb{P} ( A_{i} \cap A_{j} ) \le \frac{1}{100} }\)

Próbowałem na ślepo układać różne przestrzenie, zarówno w przypadku dyskretnym jak i z użyciem np podzbiorów borelowskich prostej, ale nic mi nie wychodzi. Ktoś pomoże?

[Dasio11]

Gdyby trzeba było znaleźć dwadzieścia takich zbiorów zawartych w kwadracie \(\displaystyle{ [0, 1]^2}\), to potrafiłbyś?

[TorrhenMathMeth]

Okej, chyba tak. Weźmy zbiory \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{10} \right] \times \left[ 0,1\right] }\), \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{10} , \frac{2}{10} \right] \times \left[ 0,1\right]}\),..., \(\displaystyle{ \left[ \frac{9}{10} , 1 \right] \times \left[ 0,1\right] }\) i przemnożone na odwrót.

[Dasio11]

Dobrze - a gdyby należało znaleźć trzydzieści podzbiorów \(\displaystyle{ [0, 1]^3}\) ?

[TorrhenMathMeth]

Okej, rozumiem do czego zmierzasz. Sugerujesz, że powinienem rozpatrzyć 100 podzbiorów \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^{10} }\)?

[Dasio11]

Zgadza się.

Rozwiązanie można nieco uprościć, rozważając \(\displaystyle{ \Omega = \{ 0, 1, \ldots, 9 \}^{\NN}}\) z naturalną strukturą przestrzeni probabilistycznej, wraz ze zbiorami

\(\displaystyle{ A_i = \{ \omega \in \Omega : \omega(i) = 0 \}}\).

Jest to rodzina zbiorów niezależnych, każdy o mierze \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\), więc w oczywisty sposób spełniają one warunki zadania.

[TorrhenMathMeth]

Rzeczywiście, dzięki za pomoc