Przypuśćmy, że pewien owad składa k jajeczek z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{λ ^{k} }{k!}*e ^{-λ} }\)
a każde z jajeczek wylęga się z prawdopodobieństwem p. Zakładając wzajemną niezależność wylęgania się jaj, znaleźć prawdopodobieństwo, że ilość potomków danego owada wyniesie dokładnie l.
Chcę zapytać, czy moje rozwiązanie ma sens. Stwierdzam że prawdopodobieństwo że będzie l potomków oznacza, iż wśród pewnej liczby potomków >=l wykluje się dokładnie l potomków. Czyli dla kolejnych liczb większych od l, aż do nieskończoności wymnażam prawdopodobieństwo złożenia tej liczby jaj razy NIEZALEŻNE prawdopodobieństwa wylęgnięcia się jajka.
\(\displaystyle{ P(X=l) = \frac{λ ^{l} }{l!}*e ^{-λ}*p ^{l} + {l+1 \choose 1}* \frac{λ ^{l+1} }{(l+1)!}*e ^{-λ}*p^l*(1-p)+.... = \sum_{k=l}^{ \infty } \frac{λ ^{k} }{k!}*e ^{-λ}*p ^{k}*(1-p) ^{k-l}* {k \choose k-l} }\)