Zadanie-Prawdopodobieństwo

[nxvis]

W pudełku znajduje się sześć kul białych i cztery czarne.
Z pudełka losujemy trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń
a) wszystkie wylosowane kule są białe
b) dwie wylosowane kule są czarne
c) wylosowano przynajmniej jedną kulę białą
d) jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 2 razy trzech takich kul,
wśród których 2 są czarne, jeśli będziemy z urny losowali 4 razy po trzy kule

[JHN]

\(\displaystyle{ |\Omega|={10\choose 3}\\
|A|={6\choose 3}\\
|B|={4\choose2}\cdot{6\choose1}\\
|C|={10\choose 3}-{4\choose 3}}\)
i do prawdopodobieństw blisko
d) ze schematu Bernoulli'ego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p=p(B)\\ N=4\\k=2 \end{cases} }\)
i ze wzoru...

Pozdrawiam

[nxvis]

\(\displaystyle{ |A|={6\choose 3}\\}\)
Czy liczymy to według wzoru \(\displaystyle{ \frac{6!}{(6-3)!\cdot 3!}}\) ?

[JHN]

Tak

[janusz47]

W treści zadaniu nie podano, czy losujemy kule jednocześnie, czy kolejno jedna po drugiej czy zwracamy po wylosowaniu do urny, czy losujemy bez zwracania do urny.

@JHN podał gotowe wzory na obliczenie prawdopodobieństw, wynikające z jednoczesnego losowania kul.

a)

Doświadczenia losowe polega na kolejnym losowaniu bez zwracania trzech kul z pudełka, zawierającego \(\displaystyle{ 6 }\) kul białych i \(\displaystyle{ 4 }\) kule czarne.

\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega= (k_{1}, k_{2}, k_{3}): k_{1}, k_{2}, k_{3}\in \{ b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, c_{7}, c_{8}, c_{9}, c_{10}\}\} }\)

Liczność (moc) zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = 10\cdot 9 \cdot 8 = 720 }\) (pierwszą kulę możemy wylosować na \(\displaystyle{ 10 }\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ 9 }\) trzecią ma \(\displaystyle{ 8 }\) sposobów).

Wszystkie losowania trzech kul są jednakowo możliwe, więc rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\)

\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{10\cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{720}. }\)

\(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie " wszystkie wylosowane kule są białe"

\(\displaystyle{ A = \{\omega = (b_{1},b_{2}, b_{3}): b_{1}, b_{2}, b_{3}\in \{ b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, c_{7}, c_{8}, c_{9}, c_{10}\}\} }\)

Liczność (moc) zbioru \(\displaystyle{ A }\)

\(\displaystyle{ |A| = 6\cdot 5\cdot 4 = 120 }\) (pierwszą biała kulę możemy wylosować na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ 5 }\) sposobów trzecią na \(\displaystyle{ 4 }\) sposoby).

Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} }\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{120}{720}= \frac{1}{6} }\)

Co oznacza ta wartość prawdopodobieństwa?

Losując kolejno trzy kule z pudełka, możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 16(6)\% }\) wszystkich wyników losowań - otrzymamy trzy kule białe.

Proszę obliczyć wartości prawdopodobieństw w podpunktach \(\displaystyle{ b), c), d) }\) i je zinterpretować.

[JHN]

... losujemy trzy kule...

Naturalnym jest zatem model podzbioru... Gdyby autorowi zadania chodziło o model ciągu - napisałby "kolejno", czy "zwracając za każdym razem"!

\(\displaystyle{ |\Omega|={10\choose 3}\\
|A|={6\choose 3}}\)

wniosek: \(\displaystyle{ p(A)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{120}{720}= \frac{1}{6} }\)

czyli modele dają takie samo prawdopodobieństwo - kolejność, nawet zadaną, losowania można zaniedbać...

Pozdrawiam

[janusz47]

Nie można zaniedbać rodzaju losowań. To są odrębne modele probabilistyczne. Na co zwróciłem, uwagę budując model kolejnego losowania kul.

O tym jak ważny jest sposób losowania świadczy punkt \(\displaystyle{ d) }\), tego zadania w którym nie można stosować schematu Bernoulliego w losowaniu bezzwrotnym.

[JHN]

Ale nie powinno się też "wciskać" kolejności...

Kolejność losowania w pojedynczej próbie Bernoulli'ego ? Nie ogarniam...

Pozdrawiam
PS. Kończę w tym wątku

[janusz47]

Nie chodzi o wciskanie kolejności.
Jak Pan wie, losowanie bez zwracania na przykład kuli z urny nie można uznać za niezależną próbę Bernoulliego, gdyż prawdopodobieństwo sukcesu w każdym losowaniu jest tutaj inne.