Prawdopodobieństwo, że wyroby pewnej fabryki spełniają wymagane normy wynosi \(\displaystyle{ 0.96}\). Zakładamy uproszczony system sprawdzania, który daje rezultat dodatni z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.98}\) dla sztuk dobrych i z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.05}\) dla sztuk wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sztuka uznana za dobrą przez kontrolę rzeczywiście spełnia wymagania normy?
Wydaje mi się, że w zadaniu powinienem wykorzystać wzór Bayes'a.
\(\displaystyle{ A}\)- zd. polegające na tym, że produkt spełnia normy
\(\displaystyle{ B}\)- zd. polegające na tym, że sztuka jest faktycznie dobra
Szukane: \(\displaystyle{ P(B|A)}\)
\(\displaystyle{ P(B|A)= \frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)} }\), gdzie
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B')\cdot P(B')}\)
Mam problem jedynie z interpretacją danych, bo z mojego rozumowania wynika, iż
\(\displaystyle{ P(A|B)=0,98}\)
\(\displaystyle{ P(B)=0,96}\)
Czy dobrze rozumiem te dwie wartości prawdopodobieństwa, oraz czy dobrze wykorzystałem wzór?
Fabryka - prawdopodobienstwo
-
Bozydar12
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Fabryka - prawdopodobienstwo
Ostatnio zmieniony 20 mar 2020, o 23:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Fabryka - prawdopodobienstwo
Moim zdaniem wszystko jest poprawnie. Ja bym to bardziej opisowo zapisał wtedy wydaje mi się to bardziej przejrzyste:
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{jest faktycznie ok } \Bigg| \text{ spełnia normę}\right)= \frac{\mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ jest faktycznie ok } \right) \cdot \mathbf{P} \left( \text{jest faktycznie ok } \right)}{\mathbf{P} \left( \text{spełnia normę}\right)} }\)
Wtedy widać też, że \(\displaystyle{ \text{ spełnić normę }}\) można na dwa sposoby \(\displaystyle{ 1)}\) jeśli element nie jest wadliwy i test zadziała lub \(\displaystyle{ 2)}\) jeśli element jest wadliwy i test nie zadziała czyli spełni normę mimo, że faktycznie jest brakiem zatem:
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{spełnia normę}\right)= \mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ jest fak. ok } \right) \cdot \mathbf{P} \left( \text{jest fak. ok } \right)+\mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ nie jest ok } \right) \cdot \mathbf{P} \left( \text{nie jest ok} \right)}\)
Każde z tych poszczególnych prawdopodobieństw można już łatwo policzyć (odczytać z treści)
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{jest fak. ok } \right)=0.96}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{nie jest ok} \right)=1-0.96=0.04}\)
to są dane z fabryki, tyle ile jest dobrych i tyle ile jest braków średnio.
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ jest fak. ok } \right)= 0.98}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ nie jest ok } \right)=0.05}\)
to są dane dotyczące jakości testu/ normy jaką bada się wyrób fabryki. Zatem interesujące prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{jest faktycznie ok } \Bigg| \text{ spełnia normę}\right)= \frac{0.98 \cdot 0.96}{0.98 \cdot 0.96+0.05 \cdot 0.04}= \frac{2352}{2357} \approx 0.9979 }\)
wniosek jest taki, że fabryka całkiem niezłe robi te elementy oraz sam test którym je badamy jest wiarygodny więc prawdopodobieństwo, że element jest faktyczne ok gdy pozytywnie przechodzi test jest duże (i jest).
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{jest faktycznie ok } \Bigg| \text{ spełnia normę}\right)= \frac{\mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ jest faktycznie ok } \right) \cdot \mathbf{P} \left( \text{jest faktycznie ok } \right)}{\mathbf{P} \left( \text{spełnia normę}\right)} }\)
Wtedy widać też, że \(\displaystyle{ \text{ spełnić normę }}\) można na dwa sposoby \(\displaystyle{ 1)}\) jeśli element nie jest wadliwy i test zadziała lub \(\displaystyle{ 2)}\) jeśli element jest wadliwy i test nie zadziała czyli spełni normę mimo, że faktycznie jest brakiem zatem:
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{spełnia normę}\right)= \mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ jest fak. ok } \right) \cdot \mathbf{P} \left( \text{jest fak. ok } \right)+\mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ nie jest ok } \right) \cdot \mathbf{P} \left( \text{nie jest ok} \right)}\)
Każde z tych poszczególnych prawdopodobieństw można już łatwo policzyć (odczytać z treści)
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{jest fak. ok } \right)=0.96}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{nie jest ok} \right)=1-0.96=0.04}\)
to są dane z fabryki, tyle ile jest dobrych i tyle ile jest braków średnio.
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ jest fak. ok } \right)= 0.98}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{ spełnia normę } \Bigg| \text{ nie jest ok } \right)=0.05}\)
to są dane dotyczące jakości testu/ normy jaką bada się wyrób fabryki. Zatem interesujące prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ \mathbf{P} \left( \text{jest faktycznie ok } \Bigg| \text{ spełnia normę}\right)= \frac{0.98 \cdot 0.96}{0.98 \cdot 0.96+0.05 \cdot 0.04}= \frac{2352}{2357} \approx 0.9979 }\)
wniosek jest taki, że fabryka całkiem niezłe robi te elementy oraz sam test którym je badamy jest wiarygodny więc prawdopodobieństwo, że element jest faktyczne ok gdy pozytywnie przechodzi test jest duże (i jest).