Hej czy poprawnie obliczyłem kowariancje?
\(\displaystyle{ X_t=\int_{0}^{t}e^{t-s}dW_s}\)
\(\displaystyle{ cov(X_a,X_b)=E(X_aX_b)-E(X_a) \cdot E(X_b)}\)
\(\displaystyle{ E(X_t)=0}\) (z własności całki stochastycznej, trzeba jakoś to skomentować jeszcze?)
\(\displaystyle{ a<b}\)
\(\displaystyle{ E(X_aX_b)=E(\int_0^a e^{a-s}dW_s\int_0^b e^{b-s}dW_s)=E(\int_0^a e^{a+b-2s}ds)=E(\frac{1}{2}(e^{a+b}-e^{b-a})=\frac{1}{2}(e^{a+b}-e^{b-a})}\)
Prosze o informacje czy gdzies sa bledy lub czy w nieodpowiedni sposob z czegos korzystalem
Dodano po 1 dniu 5 godzinach 42 minutach 44 sekundach:
hmm?
kowariancja (całka stochastyczna)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: kowariancja (całka stochastyczna)
Obliczenie kowariancji dla tej całki stochastycznej przeprowadzone poprawnie. Dla pełności tych obliczeń brakuje dowodu, wynikającego z symetrii i tożsamości polaryzacyjnej dla całki stochastycznej na przejścia \(\displaystyle{ (1), (2).}\)
\(\displaystyle{ E(X_aX_b)= (1) = E(\int_0^a e^{a-s}dW_s\int_0^b e^{b-s}dW_s)=(2)=E(\int_0^a e^{a+b-2s}ds)}\)
Brak dowodu na wykazanie, że wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ E(X_{t}) = 0 = E\left( \int_{a}^{b} e^{-(a-b)} dW_{b} \right). }\)
Brak uwzględnienia przypadku
\(\displaystyle{ a\geq b. }\)
Uwzględniając te dwa przypadki, możemy zapisać wynik końcowy kowariancji całki stochastycznej w postaci:
\(\displaystyle{ cov( X_{t}) = \frac{1}{2} \left (e^{ a+b }- e^{|b-a|} \right ).}\)
\(\displaystyle{ E(X_aX_b)= (1) = E(\int_0^a e^{a-s}dW_s\int_0^b e^{b-s}dW_s)=(2)=E(\int_0^a e^{a+b-2s}ds)}\)
Brak dowodu na wykazanie, że wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ E(X_{t}) = 0 = E\left( \int_{a}^{b} e^{-(a-b)} dW_{b} \right). }\)
Brak uwzględnienia przypadku
\(\displaystyle{ a\geq b. }\)
Uwzględniając te dwa przypadki, możemy zapisać wynik końcowy kowariancji całki stochastycznej w postaci:
\(\displaystyle{ cov( X_{t}) = \frac{1}{2} \left (e^{ a+b }- e^{|b-a|} \right ).}\)
