Własności prawdopodobieństwa

[CaffeeLatte]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P(A) = \frac12}\) oraz \(\displaystyle{ P(B) = \frac34}\) , to \(\displaystyle{ P(A|B) \ge \frac13.}\)

[kerajs]

Wstęp:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) }\)
1) zał: \(\displaystyle{ P(A \cup B)=1}\)
\(\displaystyle{ 1= \frac{1}{2}+ \frac{3}{4}-P(A \cap B)\\
P(A \cap B)= \frac{1}{4} }\)
2) zał: \(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow P(A \cup B)=P(B)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}= \frac{1}{2}+ \frac{3}{4}-P(A \cap B)\\
P(A \cap B)= \frac{1}{2} }\)
Z 1) i 2 wynika że: \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \le P(A \cap B) \le \frac{1}{2} }\)

Właściwy problem:
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\\
P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{ \frac{3}{4} }\\
\frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{3}{4} } \le P(A|B) \le \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{3}{4} } \\
\frac{1}{3} \le P(A|B) \le \frac{2}{3} }\)

[a4karo]

Te założenia sa trochę sztuczne i trzeba je uzasadniać. Może lepiej
\(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\geq \frac12+\frac34-1=\frac14\), więc
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\geq \frac{\frac14}{\frac34}=\frac13\)

[CaffeeLatte]

Nie rozumiem dlaczego Suma zdarzeń A i B równa się 1

[a4karo]

Nie suma, tylko prawdopodobieństwo sumy. No właśnie nie musi się równać. Kerajs rozpatruje skrajne przypadki: `1` i `1/4`.

[CaffeeLatte]

Dlaczego skrajnym przypadkiem jest akurat 1?

Dodano po 1 godzinie 4 minutach 55 sekundach:
Czy prawdopodobieństwo sumy jest zawsze z przedziału od 0,1 włącznie ?

Dodano po 7 minutach 49 sekundach:
Dziwne bo ze wzoru mam prawdopodobieństwo sumy mniejsze lub równe sumie prawdopodobieństwa A i prawdopodobieństwa B

[a4karo]

A czy prawdopodobieństwo może być większe niż jeden?

[CaffeeLatte]

dobra, już powoli ogarniam ale nie rozumiem czemu suma zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest większa lub równa od prawdopodobieństwa sumy, z tego wzoru wynika że prawdopodobieństwo sumy jest mniejsze lub równe \(\displaystyle{ 1,5}\).

Dodano po 43 sekundach:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) \le P(A) + P(B)}\)

Dodano po 4 minutach 59 sekundach:
O ten wzór mi chodzi.

[a4karo]

Intuicja jest taka : popatrz na prawdopodobienstwo jak na pole. Narysuj sobie dwa obszary `A`i `B`. Co powiesz o polu sumy tych obszarów i sumie pół tych obszarów. Kiedy te dwie liczby będą równe? Kiedy jedna będzie mniejszą od drugiej. I o ile?

[CaffeeLatte]

Już chyba wiem mniej więcej o co chodzi, dziękuję

Dodano po 12 minutach 39 sekundach:
Jeszcze jedno pytanie: Czy prawdopodobieństwo sumy może być równe 0?

[a4karo]

Spróbuj sam odpowiedzieć na to pytanie korzystając z nierówności, która napisałeś przed chwilą