prawdopodobieństwo całkowite

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

prawdopodobieństwo całkowite

Post autor: CaffeeLatte »

W urnie znajdują się 2 kule białe i 3 czarne. Rzucamy trzy razy monetą, jeśli wypadną same orły, to z urny losujemy 4 kule, zaś w przeciwnym przypadku losujemy tyle kul, ile wypadło reszek. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule są czarne.
Pomocy :(
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: prawdopodobieństwo całkowite

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Najpierw zastanów się jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie losowanych:
\(\displaystyle{ A_1}\) - 1 kula
\(\displaystyle{ A_2}\) - 2 kule
\(\displaystyle{ A_3}\) - 3 kule
\(\displaystyle{ A_4}\) - 4 kule
Potem w każdym z tych przypadków oblicz prawdopodobieństwo, że będą wylosowane same czarne kule (B).
\(\displaystyle{ B|A_1}\) - 1 z 1 losowanej kuli jest czarna
\(\displaystyle{ B|A_2}\) - 2 z 2 losowanych kul są czarne
\(\displaystyle{ B|A_3}\) - 3 z 3 losowanych kul są czarne
\(\displaystyle{ B|A_4}\) - 4 z 4 losowanych kul są czarne (tu oczywiście prawd. będzie 0, chyba że losujemy ze zwracaniem)
Potem, ponieważ \(\displaystyle{ A_1, \ldots, A_n}\) tworzą układ zupełny,
\(\displaystyle{ P(B) = P(A_1) P(B|A_1) + P(A_2) P(B|A_2) + P(A_3) P(B|A_3) + P(A_4) P(B|A_4}\))
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: prawdopodobieństwo całkowite

Post autor: JHN »

Niech \(\displaystyle{ H_i}\) oznacza "wypadło \(\displaystyle{ i-1}\) reszek
\(\displaystyle{ p(H_1)=\frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ p(H_2)=\frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ p(H_3)=\frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ p(H_4)=\frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ p(S|H_1)=0}\)
\(\displaystyle{ p(S|H_2)=\frac{{3\choose1}}{{5\choose 1}}}\)
\(\displaystyle{ p(S|H_3)=\frac{{3\choose2}}{{5\choose 2}}}\)
\(\displaystyle{ p(S|H_4)=\frac{{3\choose3}}{{5\choose 3}}}\)

Wobec zupełności układu hipotez, z tw. o p-wie całkowitym:

\(\displaystyle{ p(S)= \frac{1}{8} \cdot 0+\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{5}+\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{10}+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{10} = \frac{7}{20}}\)

Pozdrawiam
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: prawdopodobieństwo całkowite

Post autor: janusz47 »

Doświadczenie losowe składa się z dwóch etapów

- trzykrotny rzut symetryczną kostką - etap 1

- losowanie bez zwracania - jednej, dwóch, trzech lub czterech kul z urny, zawierającej dwie kule białe i trzy kule czarne - etap 2.

Etap 1

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ \omega: \omega = f : \{O,R \} \rightarrow (1,2,3)\} = \{ OOO, ROO , ORO , OOR, RRO, ROR, ORR, RRR\} }\)

\(\displaystyle{ P_{1}(OOO) = \frac{1}{8}, \ \ P_{1}(ROO,ORO,OOR)= \frac{3}{8}, \ \ P_{1}(RRO, ROR, ORR)= \frac{3}{8}, \ \ P_{1}(RRR)= \frac{1}{8}.}\)

Etap 2

Losowanie bez zwracania jednej kuli, gdy w pierwszy etapie wylosowano jedną reszkę

\(\displaystyle{ \Omega_{2|1} = \{ b, c \}, \ \ P_{2}(b) = \frac{2}{5}, \ \ P_{2}(c) = \frac{3}{5}. }\)

Losowanie bez zwracania dwóch kul, gdy w pierwszym etapie wylosowano dwie reszki

\(\displaystyle{ \Omega_{2|2} = \{ bb, bc, cc\}, }\)

\(\displaystyle{ P_{2}(bb) =\frac{{2\choose 2}}{{5\choose 2}} = \frac{1}{10}, \ \ P_{2}(bc)=\frac{{2\choose1}{3\choose 1}}{{5\choose 2}} = \frac{6}{10}, \ \ P(cc) = \frac{{3\choose 2}}{{5\choose2}} = \frac{3}{10}. }\)

Losowanie bez zwracania trzech kul, gdy w pierwszym etapie wylosowano trzy reszki

\(\displaystyle{ \Omega_{2|3} = \{bbc, bcc, ccc \} }\)

\(\displaystyle{ P_{2}(bbc) = \frac{{2\choose 2}{3\choose 1}}{{5\choose 3}} = \frac{3}{10}, \ \ P_{2}(bcc) = \frac{{2\choose 1}{3\choose 2}}{{5\choose 3}}=\frac{6}{10}, \ \ P_{2}(ccc) = \frac{{3\choose 3}}{{5 \choose3}} = \frac{1}{10}. }\)

Losowanie bez zwracania czterech kul w przypadku, gdy w pierwszym etapie wyrzucono trzy orły nie wpływa na wartość prawdopodobieństwa wylosowania wszystkich czarnych kul, bo w urnie znajdują się trzy kule czarne i prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych \(\displaystyle{ P_{2}(cccc)=0. }\)


\(\displaystyle{ C }\) - zdarzenie " wszystkie wylosowane kule są czarne"

\(\displaystyle{ P(C) = P_{1}(OOR, ORO, ROO) \cdot P_{2}(c) + P_{1}(RRO, ROR ,ORR)\cdot P_{2}(cc) + P_{1}(RRR)\cdot P_{2}(ccc) + P_{1}(OOO)\cdot P_{2}(cccc)}\)

\(\displaystyle{ P(C) = \frac{3}{8}\cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{8}\cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{10} + \frac{1}{8}\cdot 0 =\frac{28}{80}=\frac{7}{20}.}\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

Realizując doświadczenie dwuetapowe, możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 35\% }\) ogólnej liczby jego wyników, otrzymamy same kule czarne.
ODPOWIEDZ