Kule i urna

[Kate2410]

Mamy\(\displaystyle{ K+1}\) identycznych urn(K >1), z których każda zawiera \(\displaystyle{ K}\) kul . W k-tej urnie jest \(\displaystyle{ k-1}\) kul czarnych a pozostałe są białe. Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, ze jest ona czarna. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny (bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę czarną. (Wykorzystać wzór : \(\displaystyle{ 1*2+2*3+..+(n-1)n=(n-1)n(n+1)/3.}\)

[kerajs]

Urna nr 1 zawiera 0 kul czarnych i k kul białych
Urna nr 2 zawiera 1 kulę czarną i k-1 kul białych
Urna nr 2 zawiera 2 kule czarne i k-2 kul białych
...
...
Urna nr K zawiera k-1 kul czarnych i 1 kulę białą
Urna nr K+1 zawiera k kul czarnych i 0 kul białych

\(\displaystyle{ P(c_2|c_1)= \frac{P(c_2 \cap c_1)}{P(c_1)}= \frac{ \frac{1}{k+1}\left( \frac{0}{k} \cdot \frac{0}{k-1}+ \frac{1}{k} \cdot \frac{0}{k-1}+ \frac{2}{k} \cdot \frac{1}{k-1}+....+ \frac{k}{k} \cdot \frac{k-1}{k-1} \right) }{\frac{1}{k+1}\left( \frac{0}{k} + \frac{1}{k}+ \frac{2}{k} +....+ \frac{k}{k} \right) }=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{ \frac{1}{k-1}\left( 1 \cdot 2+2 \cdot 3+...+(k-1)k\right) }{1+2+3+..+k} =... }\)