W każdej z trzech urn jest 5 kul, przy czym w pierwszej urnie są 4 kule biale i 1 czarna, w drugiej 3 kule biale i 2 czarne, a w trzeciej
2 biale i 3 czarne. Z losowo wybranej urny losujemy bez zwracania dwie kule, odkładamy je, a dokładamy do tej urny 1 kulę białą i 1 czarną. Następnie z tej urny losujemy 1 kule. Jakie jest prawdopodobienstwo tego, że jest to kula biała, jezeli w poprzednim losowaniu wyciągnięto 2 kule białe.
Kule, urna
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Kule, urna
A-wylosowanie dwóch białych w pierwszym etapie
B-wylosowanie białej w drugim etapie
\(\displaystyle{ P(B | A)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{20}\cdot \frac{3}{5}+ \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{5} \right) }{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} + \frac{6}{20}+ \frac{2}{20}\right) } }\)
B-wylosowanie białej w drugim etapie
\(\displaystyle{ P(B | A)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{20}\cdot \frac{3}{5}+ \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{5} \right) }{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} + \frac{6}{20}+ \frac{2}{20}\right) } }\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Kule, urna
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu składa się z trzech etapów:
- losowe wybranie jednej z urn: \(\displaystyle{ U_{1}, U_{2}, U_{3} }\) - etap 1
- losowanie bez zwracania z losowo wybranej urny dwóch kul i dołożenie do niej jednej kuli białej \(\displaystyle{ b }\) i jednej kuli czarnej \(\displaystyle{ c}\) - etap 2
- wylosowanie z tej urny jednej kuli - etap 3.
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania w trzecim etapie kuli białej, gdy w poprzednim - drugim etapie wyciągnięto dwie kule białe:
\(\displaystyle{ P[(b))|(b,b)] = \frac{P[(b) \cap (b,b)]}{P((b,b)} \ \ (1) }\)
Etap 1
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ U_{1}, U_{2}, U_{3} \} }\)
\(\displaystyle{ P(U_{1}) = P(U_{2}) = P(U_{3}) = \frac{1}{3} }\)
Etap 2
W drugim etapie losujemy bez zwracania dwie kule albo z urny pierwszej, albo z urny drugiej, albo z urny trzeciej i dokładamy do tej urny jedną kulę białą i jedną kulę czarną
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{ (b,b), \ \ (b, c), \ \ (c, b), \ \ (c, c)\} }\)
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych z każdej z urn jest równe
\(\displaystyle{ P_{2|1}((b,b)) = \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{20} }\)
\(\displaystyle{ P_{2|2}((b,b)) = \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} =\frac{6}{20} }\)
\(\displaystyle{ P_{2|3}((b,b)) = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}. }\)
Etap 3
\(\displaystyle{ \Omega_{3} = \{ b, \ \ c \} }\)
Jeżeli w drugim etapie z urny pierwszej wylosowano dwie kule białe i dołożono jedną kulę białą i jedną kulę czarną to skład urny:
\(\displaystyle{ U_{1} = \{ 3b, \ \ 2c\}}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny kuli białej jest równe
\(\displaystyle{ P_{3|1}(b) = \frac{3}{5} }\)
Jeżeli w drugim etapie z urny drugiej wylosowano dwie kule białe i dołożono jedną kulę białą i jedną kulę czarną to skład urny:
\(\displaystyle{ U_{2} = \{ 2b, \ \ 3c\}}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
\(\displaystyle{ P_{3|2}(b) = \frac{2}{5} }\)
Jeżeli w drugim etapie z urny trzeciej wylosowano dwie kule białe i dołożono jedną kulę białą i jedną kulę czarną to skład urny:
\(\displaystyle{ U_{3} = \{ 1b, \ \ 4c\} }\)
Prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny kuli białej jest równe
\(\displaystyle{ P_{3|3}(b) = \frac{1}{5}. }\)
Uwzględniając trzy etapy doświadczenia losowego, możemy obliczyć wartości prawdopodobieństw
\(\displaystyle{ P[(b) \cap (b,b)] = P(U_{1})\cdot P_{2|1}((b,b)) \cdot P_{3|1}(b) + P(U_{2})\cdot P_{2|2}((b,b)) \cdot P_{3|2}(b)+ P(U_{3})\cdot P_{2|3}((b,b)) \cdot P_{3|3}(b) }\)
\(\displaystyle{ P[(b) \cap (b,b)] = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{20} \cdot \frac{2}{5} +\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{20} \cdot \frac{1}{5} = \frac{18}{100} \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ P((b,b)) = P(U_{1})\cdot P_{2|1}((b,b)) + P(U_{2}) \cdot P_{2|2}((b,b)) + P(U_{3})\cdot P_{2|3}((b,b)) }\)
\(\displaystyle{ P((b,b)) = \frac{1}{3}\cdot \frac{12}{20} + \frac{1}{3}\cdot \frac{6}{20} + \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{20} = \frac{1}{3}\cdot \frac{20}{20}= \frac{1}{3} \ \ (3) }\)
Podstawiamy wartości prawdopodobieństw \(\displaystyle{ (2), (3) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ P[(b)|(bb)] = \frac{\frac{18}{100}}{\frac{1}{3}} = \frac{54}{100} = 0,54. }\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji trzyetapowego doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że jeżeli w drugim etapie otrzymano dwie kule białe, to w \(\displaystyle{ 54\% }\) jego realizacji - w trzecim etapie otrzymamy kulę białą.
- losowe wybranie jednej z urn: \(\displaystyle{ U_{1}, U_{2}, U_{3} }\) - etap 1
- losowanie bez zwracania z losowo wybranej urny dwóch kul i dołożenie do niej jednej kuli białej \(\displaystyle{ b }\) i jednej kuli czarnej \(\displaystyle{ c}\) - etap 2
- wylosowanie z tej urny jednej kuli - etap 3.
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania w trzecim etapie kuli białej, gdy w poprzednim - drugim etapie wyciągnięto dwie kule białe:
\(\displaystyle{ P[(b))|(b,b)] = \frac{P[(b) \cap (b,b)]}{P((b,b)} \ \ (1) }\)
Etap 1
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ U_{1}, U_{2}, U_{3} \} }\)
\(\displaystyle{ P(U_{1}) = P(U_{2}) = P(U_{3}) = \frac{1}{3} }\)
Etap 2
W drugim etapie losujemy bez zwracania dwie kule albo z urny pierwszej, albo z urny drugiej, albo z urny trzeciej i dokładamy do tej urny jedną kulę białą i jedną kulę czarną
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{ (b,b), \ \ (b, c), \ \ (c, b), \ \ (c, c)\} }\)
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych z każdej z urn jest równe
\(\displaystyle{ P_{2|1}((b,b)) = \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{20} }\)
\(\displaystyle{ P_{2|2}((b,b)) = \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} =\frac{6}{20} }\)
\(\displaystyle{ P_{2|3}((b,b)) = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}. }\)
Etap 3
\(\displaystyle{ \Omega_{3} = \{ b, \ \ c \} }\)
Jeżeli w drugim etapie z urny pierwszej wylosowano dwie kule białe i dołożono jedną kulę białą i jedną kulę czarną to skład urny:
\(\displaystyle{ U_{1} = \{ 3b, \ \ 2c\}}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny kuli białej jest równe
\(\displaystyle{ P_{3|1}(b) = \frac{3}{5} }\)
Jeżeli w drugim etapie z urny drugiej wylosowano dwie kule białe i dołożono jedną kulę białą i jedną kulę czarną to skład urny:
\(\displaystyle{ U_{2} = \{ 2b, \ \ 3c\}}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
\(\displaystyle{ P_{3|2}(b) = \frac{2}{5} }\)
Jeżeli w drugim etapie z urny trzeciej wylosowano dwie kule białe i dołożono jedną kulę białą i jedną kulę czarną to skład urny:
\(\displaystyle{ U_{3} = \{ 1b, \ \ 4c\} }\)
Prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny kuli białej jest równe
\(\displaystyle{ P_{3|3}(b) = \frac{1}{5}. }\)
Uwzględniając trzy etapy doświadczenia losowego, możemy obliczyć wartości prawdopodobieństw
\(\displaystyle{ P[(b) \cap (b,b)] = P(U_{1})\cdot P_{2|1}((b,b)) \cdot P_{3|1}(b) + P(U_{2})\cdot P_{2|2}((b,b)) \cdot P_{3|2}(b)+ P(U_{3})\cdot P_{2|3}((b,b)) \cdot P_{3|3}(b) }\)
\(\displaystyle{ P[(b) \cap (b,b)] = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{20} \cdot \frac{2}{5} +\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{20} \cdot \frac{1}{5} = \frac{18}{100} \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ P((b,b)) = P(U_{1})\cdot P_{2|1}((b,b)) + P(U_{2}) \cdot P_{2|2}((b,b)) + P(U_{3})\cdot P_{2|3}((b,b)) }\)
\(\displaystyle{ P((b,b)) = \frac{1}{3}\cdot \frac{12}{20} + \frac{1}{3}\cdot \frac{6}{20} + \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{20} = \frac{1}{3}\cdot \frac{20}{20}= \frac{1}{3} \ \ (3) }\)
Podstawiamy wartości prawdopodobieństw \(\displaystyle{ (2), (3) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ P[(b)|(bb)] = \frac{\frac{18}{100}}{\frac{1}{3}} = \frac{54}{100} = 0,54. }\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji trzyetapowego doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że jeżeli w drugim etapie otrzymano dwie kule białe, to w \(\displaystyle{ 54\% }\) jego realizacji - w trzecim etapie otrzymamy kulę białą.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Kule, urna
O, faktycznie mam literówkę. Powinno być
\(\displaystyle{ P(B | A)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{\color{blue}{6}}{20}\cdot \frac{3}{5}+ \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{5} \right) }{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} + \frac{6}{20}+ \frac{2}{20}\right) } =0,56 }\)
PS
Proszę Pani! Proszę Pani! A Januszek zrobił więcej błędów niż ja, prawda?
\(\displaystyle{ P(B | A)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{\color{blue}{6}}{20}\cdot \frac{3}{5}+ \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{5} \right) }{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} + \frac{6}{20}+ \frac{2}{20}\right) } =0,56 }\)
PS
Proszę Pani! Proszę Pani! A Januszek zrobił więcej błędów niż ja, prawda?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Kule, urna
No to poprawiam, i wychodzi:
\(\displaystyle{ P(B | A)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{\color{blue}{6}}{20}\cdot \frac{\color{blue}{2}}{5}+ \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{5} \right) }{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} + \frac{6}{20}+ \frac{2}{20}\right) } =0,5 }\)
Kurka, znów nie \(\displaystyle{ 0,56}\) !
\(\displaystyle{ P(B | A)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{3}{5} + \frac{\color{blue}{6}}{20}\cdot \frac{\color{blue}{2}}{5}+ \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{5} \right) }{ \frac{1}{3} \left( \frac{12}{20} + \frac{6}{20}+ \frac{2}{20}\right) } =0,5 }\)
Kurka, znów nie \(\displaystyle{ 0,56}\) !
-
FasolkaBernoulliego
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 18 razy
Re: Kule, urna
No mnie też tak wyszło. Panie Januszu, w (2) 2/20 w ostatnim składniku i wyjdzie tak samo, ale te oznaczenia mnie niezmiennie porażają. 