Pewne p-stwo w procesie Poissona

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
PLrc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 21 cze 2012, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 42 razy

Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: PLrc »

\(\displaystyle{ T_0,\ T_1,\ T_2,... }\) jest procesem Poissona.
Możecie mi pomóc wyznaczyć
\(\displaystyle{ \mathbb P(T_5 \leq 1 < T_6) }\)?
Możecie mi dać jakieś wskazówki? Kombinuję i nic ;/
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Dla pewności, czy daję dobre wskazówki, jakiej używasz definicji procesu Poissona?

1. \(\displaystyle{ T_5 = T_5 - T_0}\)
2. Jakie wartości może przyjąć \(\displaystyle{ T_5}\), aby \(\displaystyle{ T_5 \leq 1}\)?
3. Jaki potem musi być przyrost, żeby \(\displaystyle{ T_6 > 1}\)?
4. Co wiemy o przyrostach w procesie Poissona?
PLrc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 21 cze 2012, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 42 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: PLrc »

FasolkaBernoulliego pisze: 29 lut 2020, o 20:12 Dla pewności, czy daję dobre wskazówki, jakiej używasz definicji procesu Poissona?
Nie mam pod ręką nic do procesów stochastycznych, to powiedzmy, że definicji (i) tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Proces_Poissona
czyli chyba zwyczajnej :)
2. Jakie wartości może przyjąć \(\displaystyle{ T_5}\), aby \(\displaystyle{ T_5 \leq 1}\)?
\(\displaystyle{ T_5=T_5-T_0 \in [0,1]}\)
3. Jaki potem musi być przyrost, żeby \(\displaystyle{ T_6 > 1}\)?
\(\displaystyle{ T_6-T_5 \in (1-T_5, \infty) }\)
4. Co wiemy o przyrostach w procesie Poissona?
Że są niezależne. Niestety p-stwa
\(\displaystyle{ \mathbb P(T_5-T_0 \in [0,1], T_6-T_5 \in (1-T_5, \infty)) }\) nie możemy rozbić na iloczyn p-stw, bo przedział \(\displaystyle{ (1-T_5, \infty) }\) jest losowy, prawda? I kaszana -_-
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Czy \(\displaystyle{ T_n}\) może przyjąć wartości niecałkowite? Oprócz tego, że przyrosty są niezależne, to jaki mają rozkład?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ T_{0}, \ \ T_{1}, \ \ T_{2} ...}\) - Proces Poissona

Dla \(\displaystyle{ t = 1 }\) zachodzi równość zdarzeń \(\displaystyle{ \{ T_{5} \leq 1 < T_{6}\} = \{ T_{5}\leq 1,\ \ T_{6}>1\} = \{ N_{1}= 5\}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ Pr(\{ T_{5} \leq 1 < T_{6}\}) = Pr(\{ T_{5}\leq 1, T_{6}>1\}) = Pr(\{ N_{1} = 5\}) =\frac{e^{-1\cdot \lambda}(1\cdot \lambda^{5})}{5!} = \frac{ e^{-\lambda}\cdot \lambda^{5}}{5!}. }\)
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Widzę, że Pan Janusz jak zwykle inaczej zrozumiał zadanie, niż ja, więc może trzeba by było wyjaśnić z jakim problemem mamy do czynienia.

\(\displaystyle{ T_0, T_1, T_2}\) to są czasy skoków w procesie, czy stany procesu z czasem dyskretnym w \(\displaystyle{ t = 0,1,2, \ldots}\)?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: janusz47 »

Widzę, że Pan FasolkaBernoulliego, nie znając jak rozwiązać zadanie , ale "pomagając", znowu chce wtrącić, tym razem swoją własną interpretację Procesu Poissona.
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Może niech Pan Janusz wytłumaczy czym niby jest \(\displaystyle{ N_t}\), bo w treści zadania się nie pojawia, ale z pewnością jest to część jedynie słusznej definicji Pana Janusza.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ t=1: \ \ \{ T_{5} \leq 1 < T_{6} \} = \{ N_{1}\geq 5, \ \ N_{1}< 6, \ \ N_{1} \in \ZZ \} = \{ N_{1} = 5 \}. }\)
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: FasolkaBernoulliego »

PLrc pisze: 29 lut 2020, o 17:08 \(\displaystyle{ T_0,\ T_1,\ T_2,... }\) jest procesem Poissona.
Możecie mi pomóc wyznaczyć
\(\displaystyle{ \mathbb P(T_5 \leq 1 < T_6) }\)?
Według mojego rozumienia, odmienego od rozumienia Pana Janusza, gdzie \(\displaystyle{ T_t}\) z zadania to \(\displaystyle{ N_t}\) z wikipedii, czyli losowe wartości trajektorii w czasach \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \mathbb P(T_5 \leq 1 < T_6) = \mathbb P(T_5 = 0, T_6 > 1) +\mathbb P(T_5 = 1, T_6 > 1) = \mathbb P(T_5 = 0, T_6 - T_5 > 1) + \mathbb P(T_5 = 1, T_6 - T_5 > 0) }\)
\(\displaystyle{ = \mathbb P(T_5 - T_0 = 0) \mathbb P (T_6 - T_5 > 1) + \mathbb P(T_5 - T_0 = 1) \mathbb P(T_6 - T_5 > 0) = \mathbb P(P(5 \lambda) = 0) \mathbb P(P(\lambda) > 1) + \mathbb P(P(5 \lambda) = 1) \mathbb P(P(\lambda) > 0)}\),

gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ x}\)

Dodano po 1 minucie 30 sekundach:
janusz47 pisze: 1 mar 2020, o 11:44 \(\displaystyle{ t=1: \ \ \{ T_{5} \leq 1 < T_{6} \} = \{ N_{1}\geq 5, \ \ N_{1}< 6, \ \ N_{1} \in \ZZ \} = \{ N_{1} = 5 \}. }\)
Czyli \(\displaystyle{ N_t}\) jest procesem Poissona, a nie \(\displaystyle{ T_t}\)? Jak to się ma do treści zadania?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: janusz47 »

Proces Poissona \(\displaystyle{ T_{t}, }\) jest procesem zliczającym \(\displaystyle{ N_{t}. }\)

Dodano po 11 minutach 7 sekundach:
Drugi sposób (bardziej elegancki) rozwiązania zadania

\(\displaystyle{ Pr(\{ T_{5} \leq 1 < T_{6}\}) = Pr(\{ T_{5}\leq 1, T_{6}>1\}) = Pr(\{ N_{6} - N_{5} = 5\} ) = Pr(\{N_{6-5} = 5\}) = Pr(\{ N_{1} = 5\}) =\frac{e^{-1\cdot \lambda}(1\cdot \lambda^{5})}{5!} = \\ = \frac{ e^{-\lambda}\cdot \lambda^{5}}{5!}. }\)
PLrc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 21 cze 2012, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 42 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: PLrc »

Matko Bosko, co to, co to się stanęło w tym temacie? :D
FasolkaBernoulliego pisze: 29 lut 2020, o 21:05 Czy \(\displaystyle{ T_n}\) może przyjąć wartości niecałkowite? Oprócz tego, że przyrosty są niezależne, to jaki mają rozkład?
Masz rację, nie może :) Wybacz, to zadanie jest tak sformułowane, że kompletnie o tym zapomniałem :D
Według mojego rozumienia, odmienego od rozumienia Pana Janusza, gdzie \(\displaystyle{ T_t}\) z zadania to \(\displaystyle{ N_t}\) z wikipedii, czyli losowe wartości trajektorii w czasach \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \mathbb P(T_5 \leq 1 < T_6) = \mathbb P(T_5 = 0, T_6 > 1) +\mathbb P(T_5 = 1, T_6 > 1) = \mathbb P(T_5 = 0, T_6 - T_5 > 1) + \mathbb P(T_5 = 1, T_6 - T_5 > 0) }\)
\(\displaystyle{ = \mathbb P(T_5 - T_0 = 0) \mathbb P (T_6 - T_5 > 1) + \mathbb P(T_5 - T_0 = 1) \mathbb P(T_6 - T_5 > 0) = \mathbb P(P(5 \lambda) = 0) \mathbb P(P(\lambda) > 1) + \mathbb P(P(5 \lambda) = 1) \mathbb P(P(\lambda) > 0)}\),

gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ x}\)
Zrobiłem to zadanko odmiennie od Ciebie - użyłem wzoru na p-stwo całkowite, ale jak tak patrze to chyba doszedłem do tego samego wyniku. Ale może faktycznie jest lepiej tak jak Ty:
\(\displaystyle{ \mathbb P (T_5 \leq 1 < T_6)= \mathbb P (T_5=0\ \vee \ T_5=1, T_6>1) }\)

Mamy tutaj do czynienia z sytuacją
\(\displaystyle{ \mathbb P ((A \cup B) \cap C)=\mathbb P ((A \cap C) \cup (B \cap C)) }\)

Zdarzenia \(\displaystyle{ \{T_5=0, T_6>1 \}}\) i \(\displaystyle{ \{ T_5=1, T_6>1\} }\) są już rozłączne, więc
\(\displaystyle{ \mathbb P (T_5=0\ \vee \ T_5=1, T_6>1)=\mathbb P (T_5=0, T_6>1)+\mathbb P (\ T_5=1, T_6>1) }\)

Dalej jest już chyba dosyć prosto i jest tak jak napisałeś :) Dziękuję za pomoc!
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Pewne p-stwo w procesie Poissona

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Cieszę się, że mogłem pomóc. :)

Dodano po 53 sekundach:
PLrc pisze: 1 mar 2020, o 12:24 Matko Bosko, co to, co to się stanęło w tym temacie? :D
Taka tam poranna porcja rozrywki.
ODPOWIEDZ