Rozkład logarytmiczno normalny

[degel123]

Ceny akcji \(\displaystyle{ S_T }\) charakteryzuje rozkład logartymiczno-normalny, dla którego

\(\displaystyle{ \ln{S_T}\sim \Phi\left[\ln S+(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T; \sigma\sqrt{T}\right]}\) gdzie
\(\displaystyle{ S}\) aktualna cena akcji
\(\displaystyle{ \mu}\) oczekiwana stopa zwrotu z akcji
\(\displaystyle{ \sigma}\) zmiennosc ceny akcji

Prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych trzech miesięcy cena akcji znajdzie się w przedziale od 30 do 45 wynosi 95%, a aktualna cena akcji jest na poziomie 35. Wyznacz oczekiwaną stopę zwrotu z akcji.

Wie ktoś jak to zrobić?

[FasolkaBernoulliego]

\(\displaystyle{ \sigma}\) jest nieznane?

[degel123]

\(\displaystyle{ \sigma}\) jest nieznane?

Tak

[FasolkaBernoulliego]

Prawdę mówiąc intuicja podpowiada mi, że nie dostaniesz jedynego rozwiązania (chyba, że coś źle zrozumiałem, albo się machnąłem). Wydaje mi się, że problem sprowadza się do rozwiązania równania

\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln \frac{9}{7} - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right)}\) + \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln \frac{7}{6} + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right) = 1,95}\)

gdzie \(\displaystyle{ T}\) to są te 3 miesiące (nie wiem w jakich jednostkach się to wsadza, więc zostawiłem jak jest).

Jeżeli chcieć mieć jakieś rozwiązanie, to można założyć, że oba argumenty \(\displaystyle{ \Phi}\) są takie same i wtedy powinno być łatwo to równanie rozwiązać. W ogólności nie widzę, dlaczego miałoby być jedyne rozwiązanie... może ktoś inny pomoże?

PS. Jakiej tu się używa definicji oczekiwanej stopy zwrotu z akcji? Jakiś analog intensywności oprocentowania?

[degel123]

To jest to zadanie 6.

U nas oczekiwana stopa zwrotu to \(\displaystyle{ \mathbb{E}K}\), gdzie \(\displaystyle{ K=\frac{S(1)-S(0)}{S(0)}}\)

[FasolkaBernoulliego]

No to coś mi tu nie pasuje, albo źle rozumiem treść zadania - to jest definicja oczekiwanej rocznej stopy zwrotu, którą znam, ale jeśli liczę to dla \(\displaystyle{ S(1)}\) z zadania i \(\displaystyle{ S(0) = S}\), to mi wychodzi \(\displaystyle{ e^\mu - 1}\), a nie \(\displaystyle{ \mu}\)...

Dodano po 4 minutach 1 sekundzie:
Dla pewności powinienem się jeszcze spytać, co oznacza zapis:

\(\displaystyle{ \ln{S_T}\sim \Phi\left[\ln S+(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T; \sigma\sqrt{T}\right]}\) gdzie

Zrozumiałem to tak, że \(\displaystyle{ S_T}\) ma rozkład lognormalny z parametrami takimi jak w nawiasie, czyli \(\displaystyle{ \ln{S_T}}\) ma rozkład normalny ze średnią \(\displaystyle{ \ln S+(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}\) i wariancją \(\displaystyle{ \sigma^2 T}\)?

[janusz47]

Black-Scholes-Merton model

\(\displaystyle{ \ln(S_{T}) \sim \Phi\left( \ln(S) + \left( \mu + \frac{\sigma^{2}}{2} \right) T, \ \ \sigma \sqrt{T}\right) }\)

\(\displaystyle{ S = 35, \ \ T = 3 }\) miesiące \(\displaystyle{ = \frac{1}{4} = 0,25 }\) roku,

\(\displaystyle{ \phi^{-1}\left(1 -\frac{\alpha}{2}\right) = \phi(0,975)\approx 1,96, }\)

\(\displaystyle{ \ln (S_{0,25}) \sim \Phi\left( \ln 35 + \left( \mu + \frac{\sigma^2}{2}\right)\cdot 0,25, \ \ \sigma \sqrt{0,25}\right) }\)

\(\displaystyle{ \ln (S_{0,25}) \sim \Phi\left( \ln 35 + \left( \mu + \frac{\sigma^2}{2}\right)\cdot 0,25, \ \ \sigma 0,5 \right) }\)

\(\displaystyle{ Pr( 30 \leq S_{T} \leq 45) = 0,95 }\)

Budujemy \(\displaystyle{ 95\% }\) obustronny przedział ufności dla wartości średniej ceny akcji

\(\displaystyle{ \ln(35) + \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 - 1.96\cdot 0,5\sigma < \ln(S_{0,25}) < \ln(35) +\left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 + 1.96\cdot 0,5\sigma }\)

Stąd

\(\displaystyle{ 30 = e^{ \ln(35) - \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 - 1.96\cdot 0,5\sigma} < S_{0,25}< e^{\ln(35) + \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 + 1.96\cdot 0,5\sigma} = 45}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \ln(35) - \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 - 1.96\cdot 0,5\sigma = \ln(30) \\ \ln(35) + \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 + 1.96\cdot 0,5\sigma = \ln(45) \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \ln(35) - \ln(30) + \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 - 1.96\cdot 0,5\sigma = 0 \\ \ln(35)-\ln(45) + \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 + 1.96\cdot 0,5\sigma = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \ln\left(\frac{35}{30}\right) + \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 - 1.96\cdot 0,5\sigma = 0 \\ \ln\left(\frac{35}{45}\right) + \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 + 1.96\cdot 0,5\sigma = 0 \end{cases} }\)

Dodajemy równania stronami

\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{35}{30} \right)+\ln\left(\frac{35}{45}\right) + 2 \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right)\cdot 0,25 = 0 }\)

\(\displaystyle{ \ln\left( \frac{35\cdot 35}{30\cdot 45}\right) + 0,5 \left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right) = 0 }\)

\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{49}{54} \right) + 0,5\left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right) = 0 }\)

\(\displaystyle{ 0,5\left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right) = -\ln\left(\frac{49}{54} \right) }\)

\(\displaystyle{ 0,5\left(\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}\right) = \ln\left(\frac{54}{49} \right) }\)

\(\displaystyle{ \mu + \frac{\sigma^{2}}{2} = 2\ln\left(\frac{54}{49} \right) }\)

\(\displaystyle{ \mu + \frac{\sigma^{2}}{2} = \ln\left(\frac{54}{49}\right)^{2} }\)

\(\displaystyle{ \mu + \frac{\sigma^{2}}{2} \approx 0,19433 \approx 19,5\% }\)

\(\displaystyle{ R \approx 19,5\% }\)

Najbliższa wartość oczekiwanej stopy zwrotu akcji wynosi \(\displaystyle{ 19,5\%.}\)
Odpowiedź (B).

Dodano po 10 godzinach 40 minutach 5 sekundach:
Na podstawie obliczonej wartości oczekiwanej stopy zwrotu akcji, możemy obliczyć średnią wartość trzymiesięcznej ceny akcji

\(\displaystyle{ R = \frac{1}{T} \ln\left(\frac{S_{T}}{S}\right) }\)

\(\displaystyle{ RT =\ln\left(\frac{S_{T}}{S}\right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{S_{T}}{S} = e^{RT} }\)

\(\displaystyle{ S_{T} = S_{0}e^{RT} }\)

\(\displaystyle{ S_{0,25} = 35 e^{ 0,195\cdot 0,25} \approx 36,74852 \approx 37. }\)

Kod: Zaznacz cały

> S025= 35*exp(0.195*0.25)
> S025
[1] 36.74852

[FasolkaBernoulliego]

\(\displaystyle{ \ln(S_{T}) \sim \Phi\left( \ln(S) + \left( \mu + \frac{\sigma^{2}}{2} \right) T, \ \ \sigma \sqrt{T}\right) }\)

W zadaniu było z minusem.

Budujemy \(\displaystyle{ 95\% }\) obustronny przedział ufności dla wartości średniej ceny akcji

Czyli szukamy jakiegoś (lepszego od innych?) rozwiązania zadania.

\(\displaystyle{ \mu + \frac{\sigma^{2}}{2} \approx 0,19433 \approx 19,5\% }\)

Na szczęście przy moim rozwiązaniu wychodzi tak samo, z tym że dla
\(\displaystyle{ \mu - \frac{\sigma^{2}}{2} }\)

Najbliższa wartość oczekiwanej stopy zwrotu akcji wynosi \(\displaystyle{ 19,5\%.}\)
Odpowiedź (B).

Tego, przyznam, nie rozumiem. Policzyłeś przecież \(\displaystyle{ \mu + \frac{\sigma^{2}}{2} }\), a pytanie jest o \(\displaystyle{ \mu}\)...

W moim rozwiązaniu, po obliczeniu (a może raczej przyjęciu?) \(\displaystyle{ \mu - \frac{\sigma^{2}}{2} \approx 0,1943 }\), wyznaczam \(\displaystyle{ \sigma}\) z zależności
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{2 c}{\Phi^{-1}(0,975)}}\),
gdzie
\(\displaystyle{ c = \ln(9/7) - (\mu - \sigma^{2} / 2)T = \ln(7/6) + (\mu - \sigma^{2} / 2)T}\),
dostając
\(\displaystyle{ \sigma \approx 0,2069}\).
Dalej z postaci \(\displaystyle{ c}\) wyznaczam \(\displaystyle{ \mu}\) otrzymując
\(\displaystyle{ \mu \approx 0,2157}\).

Moim zdaniem, przy powyższych założeniach co do wyboru rozwiązania, poprawna odpowiedź to (d) ok. 21,5%.

[janusz47]

Proszę zapoznać się z modelem Black-Sholesa - Mortona i odpowiedziami KNF do zadania 6 testu.

Z Pańskich odpowiedzi nic nie wychodziło. Chciał Pan liczyć prawdopodobieństwo z sumy dystrybuant, co jest ewidentnym elementarnym błędem. Nie wiedział Pan, ze czas \(\displaystyle{ T = 3 }\) miesiące odnosimy do jednego roku, a oczekiwana stopa zwrotu w tym modelu to \(\displaystyle{ \mu + \frac{\sigma^{2}}{2}. }\)

W ogóle wiedział Pan co to jest oczekiwana stopa zwrotu akcji.

Ponadto, gdyby Pan zapoznał się z tym modelem portfela, to wiedział by Pan, że należało skonstruować \(\displaystyle{ 95\% }\) obustronny przedział ufności w celu obliczenia wartości oczekiwanej stopy zwrotu.

Panie FasolkaBernoulliego zabiera się Pan za pomoc, będąc w tej pomocy blady.

[FasolkaBernoulliego]

Fakt, nie znam tego modelu. Potrafię jednak czytać treść polecenia. Właśnie sprawdziłem i komisja jako odpowiedź zamieściła D, czyli odpowiedź którą zaproponowałem...

Dodano po 9 minutach 55 sekundach:

Z Pańskich odpowiedzi nic nie wychodziło. Chciał Pan liczyć prawdopodobieństwo z sumy dystrybuant, co jest ewidentnym elementarnym błędem.

Proszę sobie zadać pytanie, czy \(\displaystyle{ 1,95}\) może być wartością prawdopodobieństwa? Jak nie jest Pan w stanie nadążyć za moim rozumowaniem, to proszę go od razu nie krytykować, tylko poświęcić chwilę, aby zrozumieć.

Nie wiedział Pan, ze czas \(\displaystyle{ T = 3 }\) miesiące odnosimy do jednego roku, a oczekiwana stopa zwrotu w tym modelu to \(\displaystyle{ \mu + \frac{\sigma^{2}}{2}. }\)

Nie byłem pewien jaka jest jednostka bazowa, bo w różnych modelach jest ona różna. W treści zadania jest jasno napisane, że oczekiwana stopa zwrotu to \(\displaystyle{ \mu}\)

W ogóle wiedział Pan co to jest oczekiwana stopa zwrotu akcji.

Znałem definicję, która się nie zgadza z treścią zadania, co chyba wyjaśniłem wyżej.

Ponadto, gdyby Pan zapoznał się z tym modelem portfela, to wiedział by Pan, że należało skonstruować \(\displaystyle{ 95\% }\) obustronny przedział ufności w celu obliczenia wartości oczekiwanej stopy zwrotu.

Co to znaczy "należało"? Z treści zadania nie wynikało, że podane prawdopodobieństwo odnosi się do akurat takiego "przedziału ufności", cokolwiek by to określenie nie znaczyło w tym kontekście.

Panie FasolkaBernoulliego zabiera się Pan za pomoc, będąc w tej pomocy blady.

Próbuję pomóc jak umiem. Nie jestem finansistą. Jednocześnie chciałbym wyrazić zdziwienie, że nie zaproponował Pan konstrukcji wieloetapowego modelu probabilistycznego.

[janusz47]

Z jakiego źródła Pan sprawdził? Ta wartość jest błędna, bo wartość średnia trzymiesięcznego portfela dla odpowiedzi \(\displaystyle{ (D), 21,5\%, }\) jest błędna.

Panie FasolkaBernoulliego proszę się pouczyć, a później pomagać i nie być człowiekiem złośliwym, jeśli się nie zna podstawowych wiadomości z teorii portfela, nie mówiąc o obliczaniu prawdopodobieństwa na podstawie dystrybuanty i konstrukcji przedziałów ufności.

[FasolkaBernoulliego]

Z jakiego źródła Pan sprawdził? Ta wartość jest błędna, bo wartość średnia trzymiesięcznego portfela dla odpowiedzi \(\displaystyle{ (D), 21,5\%, }\) jest błędna.

Sprawdziłem na stronie KNF.

Panie FasolkaBernoulliego proszę się pouczyć, a później pomagać i nie być człowiekiem złośliwym, jeśli się nie zna podstawowych wiadomości z teorii portfela, nie mówiąc o obliczaniu prawdopodobieństwa na podstawie dystrybuanty i konstrukcji przedziałów ufności.

Jak już zapoznam się z teorią portfela, to będę mógł być złośliwy? Co z tego, że zna Pan tę teorię, skoro korzysta Pan z innego modelu, niż jest zadany w poleceniu? Z treści polecenia wynika, że \(\displaystyle{ F(45) - F(30) = 0,95}\). Nie ma podstaw, żeby wnioskować, że \(\displaystyle{ F(30) = 0,025 = 1 - F(45)}\), czyli budować obustronnego "przedziału ufności". Jak można komuś zarzucać brak umiejętności obliczania prawdopodobieństwa na podstawie dystrybuanty, nie znając (albo nie umiejąc dostrzec użycia) podstawowych własności dystrybuanty bodaj najpopularniejszego rozkładu prawdopodobieństwa?

[janusz47]

To bardzo szybko szybko się Pan z teorią portfela. Czyli się Pan nie zapoznał. Teraz Pan jest mądry i nie stosuje do obliczenia prawdopodobieństwa sumy dystrybuant.

[FasolkaBernoulliego]

Dobra, widzę, że muszę wyjaśnić...

\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln \frac{9}{7} - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right)}\) + \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln \frac{7}{6} + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right) = 1,95}\)

Domyślam się, że o tym fragmencie mowa.

\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln \frac{9}{7} - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right)}\) + \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln \frac{7}{6} + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right) = 1,95}\)

\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln \frac{9}{7} - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right)}\) + 1 - \(\displaystyle{ \Phi\left(- \frac{\ln \frac{7}{6} + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right) = 1,95}\)

\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln 45 - \ln 35 - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right)}\) - \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\ln 30 - \ln 35 - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right) = 0,95}\)

\(\displaystyle{ P\left( \frac{\ln 30 - \ln 35 - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} \leq \frac{\ln S_T - \ln 35 - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} \leq \frac{\ln 45 - \ln 35 - (\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} \right) = 0,95}\)

\(\displaystyle{ P\left( \ln 30 \leq \ln S_T \leq \ln 45 \right) = 0,95}\)

\(\displaystyle{ P\left(30 \leq S_T \leq 45 \right) = 0,95}\)

Teraz jaśniej?

[janusz47]

Nie tylko jaśniej, ale i bezbłędnie przeprowadzona standaryzacja.

No i co dalej?