Populacja w długim okresie

[Piotr Rutkowski]

Witam,

Niech \(\displaystyle{ \mathfrak{P}_{i}}\) będzie populacją w okresie \(\displaystyle{ i}\). W każdym okresie do populacji dołącza stała liczba nowych elementów \(\displaystyle{ n}\) (może być dostatecznie duże, wielkość nie powinna być istotna dla problemu). W momencie dołączenia do populacji dla każdego nowego elementu losowany jest jego maksymalny wiek z rozkładu \(\displaystyle{ X>0}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X)=x}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma(X)=\sigma}\) oraz \(\displaystyle{ X>0}\). Po przekroczeniu maksymalnego wieku element jest usuwany z próbki. Niech \(\displaystyle{ A(\mathfrak{P}_{i})}\) będzie średnim wiekiem populacji w momencie \(\displaystyle{ i}\).

Pytanie: Ile wynosi \(\displaystyle{ \lim_{i\to \infty}A(\mathfrak{P}_{i})}\)? Pytanie bardziej w kontekście istnienia niesymulacyjnych metod do estymacji średniego wieku w populacji. Przydatne byłyby też informacje na temat używanych metod do estymacji tych zagadnień (np. w matematyce ubezpieczeniowej/majątkowej lub demografii, już od dawna nie zaglądałem do tych zagadnień).
Czy przyjmując pewne założenia na temat \(\displaystyle{ X}\) (np. rodzaj rozkładu przy zadanych parametrach) można przedstawić \(\displaystyle{ \lim_{i\to \infty}A(\mathfrak{P}_{i})}\) w zamkniętej formule?

Pozdrawiam
Piotr

[FasolkaBernoulliego]

Niech \(\displaystyle{ x_n}\) oznacza średnią liczbę osób, które przybywają do populacji z maksymalnym wiekiem \(\displaystyle{ \geq n}\). Wtedy średni wiek to będzie chyba
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x_n} { \sum_{n=1}^{\infty} x_n}}\)?

Czy źle myślę?