Zdarzenia zależne i niezależne

[bogdanbagniak]

Witam wszystkich

Mam problem z takim zadaniem:
Losujemy kolejno dwie karty, jedna po drugiej, bez zwracania karty do talii. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania asa w drugim losowaniu, jeśli wiadomo już, że w pierwszym losowaniu nie wylosowaliśmy asa.

Odpowiedz do niego to:
\begin{equation}
\frac{ \frac{48\cdot 4}{52\cdot 51} }{ \frac{48}{52} }
\end{equation}

Wszystko wydaje się jasne dopóki nie zacznę się zastanawiać nad zależnością i niezależnością zdarzeń: intuicyjnie zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są zależne, bo wyjęcie jednej karty w zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\), zwiększa prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ B}\)

Z drugiej strony odpowiedz spełnia równanie (licznik prawdopodobieństwa warunkowego)
\begin{equation}
P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)
\end{equation}
czyli niezależność zdarzeń, odpowiedz \(\displaystyle{ P(A | B)=P(A)}\) to czyli zdarzenia niezależne
Może źle definiuję zdarzenia:
\begin{equation}
P(A)= \frac{4}{51}
\end{equation}
\begin{equation}
P(B)= \frac{48}{52}
\end{equation}
może tutaj jest błąd rozumowania?

Proszę o pomoc i wyłożenie tego "jak krowie na miedzy", bo kompletnie zgłupiałem.
Pozdrawiam

[FasolkaBernoulliego]

Napisz proszę dokładnie, czym są zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to może samo się wyjaśni.

[bogdanbagniak]

Napisz proszę dokładnie, czym są zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to może samo się wyjaśni.

Trochę zaplątałem co jest A, a co B.
Zdarzenie B: wylosowanie karty innej niż as z pełnej talii, czyli 48/52
Zdarzenie A: Wylosowanie asa z tali pomniejszonej o jedną kartę niebędącą asem czyli 4/51

Niestety nadal nie mogę sobie ułożyć tego w głowie

[FasolkaBernoulliego]

Zauważ, że w najprostszym ujęciu są to zdarzenia z innych przestrzeni probabilistycznych i pisanie np. \(\displaystyle{ A \cap B}\) po prostu nie ma sensu.

Możesz albo rozpisać sobie wszystko na dwa etapy doświadczenia losowego (czyli takie szkolne drzewko) i tam będzie, myślę, wszystko widać, albo popatrzeć na to w ten sposób:

\(\displaystyle{ B}\) - wylosowanie karty innej niż as w pierwszym losowaniu
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{48}{52}}\)

\(\displaystyle{ A}\) - wylosowanie asa w drugim losowaniu
\(\displaystyle{ P(A)}\) to nie jest po prostu \(\displaystyle{ \frac{4}{51}}\).

Wiemy, że
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{4}{51}}\)
\(\displaystyle{ P(A|B') = \frac{3}{51}}\)

Ze wzoru na prawd. całkowite
\(\displaystyle{ P(A) = P(B) P(A|B) + P(B') P(A|B') = \frac{48}{52} \cdot \frac{4}{51} + \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} }\)

Spróbuj w tym ujęciu rozpisać ile wynosi \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) i warunek na niezależność.

[bogdanbagniak]

Dziękuję za odpowiedź.
A byłbyś w stanie wyjaśnić mi czemu odpowiedz do zadania wygląda tak jak moim pierwszym poście? Chodzi mi o to, że jak zauważyłeś pisanie \begin{equation}
A \cap B
\end{equation}
nie ma sensu, a w odpowiedzi do zadania na sto procent zastosowano wzór na prawdopodobieństwo warunkowe. Nadal nie potrafię zrozumieć czemu odpowiedź do zadania została przedstawiona w takiej formie.

[FasolkaBernoulliego]

Odpowiedź jest w trochę dziwnej postaci, pewnie ktoś chciał na siłę użyć wzoru na prawd. warunkowe... Licznik to jest \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\), a mianownik to \(\displaystyle{ P(B)}\), ale zgodnie z moimi oznaczeniami zdarzeń, a nie Twoimi.