Wartość oczekiwana i wariancja

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
bonifacy2020
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 4 lut 2020, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24

Wartość oczekiwana i wariancja

Post autor: bonifacy2020 »

W urnie znajduje się 50 białych kul. Losujemy ze zwracaniem po jednej kuli, przy czym wyciągniętą kulę malujemy na czerwono, jeśli jest biała. Niech X będzie liczbą czerwonych kul w urnie po 20 losowaniach. Obliczyć EX i VarX. :?:
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Wartość oczekiwana i wariancja

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Łatwego matematycznego wzoru szczerze mówiąc nie widzę - jedyne co jestem w stanie wymyśleć to bardzo brzydkie sumy. Numerycznie mi wychodzi \(\displaystyle{ EX = 16,62}\) a \(\displaystyle{ Var X = 2,04}\) z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wartość oczekiwana i wariancja

Post autor: Tmkk »

Niech \(\displaystyle{ X_i = 1}\), jeśli \(\displaystyle{ i}\)-ta kula została co najmniej raz wylosowana, \(\displaystyle{ 0}\) w.p.p. \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots ,50}\). Wówczas \(\displaystyle{ X = \sum_{i=1}^{50} X_i }\) i

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \sum_{i=1}^{50}\mathbb{E}X_i = \sum_{i=1}^{50} \mathbb{P}\left(X_i = 1\right) = \sum_{i=1}^{50} 1 - \mathbb{P}\left(X_i = 0\right) = \sum_{i=1}^{50} 1 - \left(\frac{49}{50}\right)^{20} = 50 \left(1 - \left(\frac{49}{50}\right)^{20}\right)}\)

Podobne rozumowanie dla wariancji, spróbuj sam.
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Wartość oczekiwana i wariancja

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Da się jakoś zgrabniej zapisać tę wariancję? Drugi moment mi wyszedł
\(\displaystyle{ EX^2 = EX + 2 {50 \choose 2} \left[ 1 - 2 \left(\frac{49}{50} \right)^{20} + \left(\frac{48}{50} \right)^{20} \right]}\),
co zgadza się z moją numeryką, ale wygląda szkudnie.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wartość oczekiwana i wariancja

Post autor: Tmkk »

Wydaje mi się, że to jest najzgrabniej, jak się tylko da. Zważając na fakt, że są tu jakieś ułamki do \(\displaystyle{ 20}\)-stych potęg, cięzko liczyć na wynik postaci \(\displaystyle{ \frac{7}{8}}\). Ale ostatecznie nie ma żadnych sum, dla mnie wynik jest całkiem ładny :)
ODPOWIEDZ