Z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) losujemy dwa punkty które dzielą odcinek na trzy części. Ile wynosi średnie pole prostokąta, którego boki tworzą dwa skrajne odcinki?
Czy da zrobić się to zadanie bez analizy przypadków? Niestety próbuję ale bez efektów.
Prawdopodobieństwo geometryczne i wartość oczekiwana
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Prawdopodobieństwo geometryczne i wartość oczekiwana
Może tak:
Skrajne odcinki to \(\displaystyle{ x, y}\) gdzie \(\displaystyle{ x \le y}\)
Ograniczenia:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{1}{2} \\
x \le y \le 1-x }\)
Ten obszar to trójkąt o polu równym \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\)
Wartość średnia :
\(\displaystyle{ P_{sr}= \frac{ \int_{0}^{ \frac{1}{2} } ( \int_{x}^{1-x} xy \dd y ) \dd x }{ \frac{1}{4} } }\)
Skrajne odcinki to \(\displaystyle{ x, y}\) gdzie \(\displaystyle{ x \le y}\)
Ograniczenia:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{1}{2} \\
x \le y \le 1-x }\)
Ten obszar to trójkąt o polu równym \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\)
Wartość średnia :
\(\displaystyle{ P_{sr}= \frac{ \int_{0}^{ \frac{1}{2} } ( \int_{x}^{1-x} xy \dd y ) \dd x }{ \frac{1}{4} } }\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Prawdopodobieństwo geometryczne i wartość oczekiwana
To wynika z założenia które przyjąłem : \(\displaystyle{ x \le y}\)
Gdyby \(\displaystyle{ x}\) przekroczył \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ y< \frac{1}{2}<x }\), co byłoby sprzeczne z powyższym założeniem.
Gdyby \(\displaystyle{ x}\) przekroczył \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ y< \frac{1}{2}<x }\), co byłoby sprzeczne z powyższym założeniem.
Ostatnio zmieniony 2 lut 2020, o 22:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 18 razy
Re: Prawdopodobieństwo geometryczne i wartość oczekiwana
W powyższym rozwiązaniu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to długości tworzonych odcinków. Może łatwiej Ci będzie na to patrzeć w postaci
\(\displaystyle{ P = \int_0^1 \int_0^x y (1-x) dx dy + \int_0^1 \int_x^1 (1-y) x dx dy = 2 \int_0^1 \int_0^x y (1-x) dx dy}\).
\(\displaystyle{ P = \int_0^1 \int_0^x y (1-x) dx dy + \int_0^1 \int_x^1 (1-y) x dx dy = 2 \int_0^1 \int_0^x y (1-x) dx dy}\).