Prawdopodobieństwo geometryczne i wartość oczekiwana

[pawlo392]

Z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) losujemy dwa punkty które dzielą odcinek na trzy części. Ile wynosi średnie pole prostokąta, którego boki tworzą dwa skrajne odcinki?

Czy da zrobić się to zadanie bez analizy przypadków? Niestety próbuję ale bez efektów.

[kerajs]

Może tak:
Skrajne odcinki to \(\displaystyle{ x, y}\) gdzie \(\displaystyle{ x \le y}\)
Ograniczenia:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{1}{2} \\
x \le y \le 1-x }\)
Ten obszar to trójkąt o polu równym \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\)
Wartość średnia :
\(\displaystyle{ P_{sr}= \frac{ \int_{0}^{ \frac{1}{2} } ( \int_{x}^{1-x} xy \dd y ) \dd x }{ \frac{1}{4} } }\)

[pawlo392]

Czemu takie ograniczenie na zmienną x?

[kerajs]

To wynika z założenia które przyjąłem : \(\displaystyle{ x \le y}\)
Gdyby \(\displaystyle{ x}\) przekroczył \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ y< \frac{1}{2}<x }\), co byłoby sprzeczne z powyższym założeniem.

[FasolkaBernoulliego]

W powyższym rozwiązaniu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to długości tworzonych odcinków. Może łatwiej Ci będzie na to patrzeć w postaci

\(\displaystyle{ P = \int_0^1 \int_0^x y (1-x) dx dy + \int_0^1 \int_x^1 (1-y) x dx dy = 2 \int_0^1 \int_0^x y (1-x) dx dy}\).