Zbieżności dla niezależnych zmiennych Poissona

[FasolkaBernoulliego]

Próbuję rozwiązać zadanie 10. ze strony , gdzie bada się różne rodzaje zbieżności ciągu niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona z parametrem 1/n. Zastanawiam się, czy dobrze rozumuję, bardzo bym prosił o uwagi.

1. Chcę pokazać zbieżność stochastyczną do stałej 0.
Dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) mam
\(\displaystyle{ P(X_n > \epsilon) \leq P(X_n > 0) = 1 - P(X_n = 0) = 1 - e^{-1 / n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty}\)

2. Chcę pokazać brak zbieżności prawie pewnej.
Np. dla \(\displaystyle{ \epsilon = 1/2}\) mam z niezalezności zmiennych
\(\displaystyle{ P ( \bigcap_{k = n}^{\infty} [X_k < \epsilon] ) = P ( \bigcap_{k = n}^{\infty} [X_k = 0] ) = \lim_{N \to \infty} \exp \Big(- \sum_{k = n}^{N} 1/k \Big) = 0 \nrightarrow 1, n \rightarrow \infty}\)

3. Chcę pokazać zbieżność w \(\displaystyle{ L^2}\).
\(\displaystyle{ EX^2 = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty}\)

4. Chcę pokazać zbieżność w \(\displaystyle{ L^{3/2}}\).
Skoro zbiega w \(\displaystyle{ L^2}\), to w \(\displaystyle{ L^{3/2}}\) też powinien, ale jak to pokazać bezpośrednio? Czy da się w jakiś łatwy sposób wyliczyć sumę szeregu, który się tam pojawia?

[Premislav]

Oczywiście podpunkty 1. 2. i 3. poprawnie, natomiast doprawdy nie rozumiem, czemu chcesz wyliczać taką nieprzyjemną sumę, zamiast skorzystać z tego, co piszesz. Wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left|X_{n}\right|^{\frac{3}{2}}=e^{-\frac{1}{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{\frac{3}{2}}}{k!n^{k}}}\)
i zamiast ją liczyć, wystarczy oszacować (nawet na zasadzie \(\displaystyle{ k^{\frac{3}{2}}\le k^{2}, \ k\in \NN}\), co w bardziej konkretny – ale może przez to uboższy – sposób niż ogólna teoria sprowadza zagadnienie do podpunktu poprzedniego).
Ta suma nie wyraża się przez funkcje elementarne, słowo harcerza. Jeśli jakoś przez nieelementarne, to może jakoś przez pochodne ułamkowe gammy czy symbol Pochhammera, ale korzystanie z tego w tak prostym (i niewchodzącym głębiej w analizę) zadaniu jest jak wyprowadzanie wzoru na sumę \(\displaystyle{ S_{k}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}, \ k\in \NN^{+}}\) w celu zbadania zbieżności
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\)

Trochę gównowpis mi wyszedł, ale to może przez to, że zdziwiło mnie to pytanie.

[FasolkaBernoulliego]

Ta suma nie wyraża się przez funkcje elementarne, słowo harcerza.

Tego właśnie nie wiedziałem, stąd pytanie. Dzięki!