Zbieżność stochastyczna

[strefa61]

Hej, mamy zmienne: \(\displaystyle{ X \sim N\left( 0,1\right) }\) oraz ciąg \(\displaystyle{ Y_n=\sin\left( {\sqrt{n}1_{\left| X\right|>\sqrt{n} }}\right) }\). Mam sprawdzić Z DEFINICJI czy istnieje jakaś liczba rzeczywista, dla której ten ciąg jest zbieżny stochastycznie, tzn:
czy istnieje \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}: \lim_{n \rightarrow \infty} P\left( \left| Y_n-a\right|>\epsilon \right) = 0 }\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\)
Spróbujmy dla \(\displaystyle{ a=0}\):
\(\displaystyle{ P\left( \left| Y_n-a\right|>\epsilon \right) = P\left( \left|\sin\left( {\sqrt{n}1_{\left| X\right|>\sqrt{n} }}\right)\right|>\epsilon \right) = }\)
\ \\bo \(\displaystyle{ \sin\left( {\sqrt{n}1_{\left| X\right|>\sqrt{n} }}\right)=1_{\left| X\right|>\sqrt{n} }\sin\left( {\sqrt{n}}\right)}\) \\
\(\displaystyle{ =P\left( 1_{\left| X\right|>\sqrt{n} }\left|\sin\left( {\sqrt{n}}\right)\right|>\epsilon \right) }\)
I teraz oczywiście ta funkcja charakterystyczna w nieskończoności dąży do 0, tylko jak to formalnie zapisać?

[Premislav]

Można skorzystać z \(\displaystyle{ |\sin t|\le 1, \ t\in \RR}\) oraz z własności monotoniczności prawdopodobieństwa (dwukrotnie) i zapisać
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{|X|>\sqrt{n}}\left|\sin\left(\sqrt{n}\right)\right|>\epsilon\right)\\ \le \mathbf{P}\left(1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{|X|>\sqrt{n}}>\epsilon \right)\\ \le \mathbf{P}\left(1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{|X|>\sqrt{n}}>0\right)=\mathbf{P}\left(|X|>\sqrt{n}\right)\\=\Phi\left(-\sqrt{n}\right)+1-\Phi\left(\sqrt{n}\right)\\=2\Phi\left(-\sqrt{n}\right)\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow 0}\)
przy czym \(\displaystyle{ \Phi}\) oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego.

Aczkolwiek wydaje mi się to trochę przekombinowane, ale o tej porze nic lepszego nie wymyślę. Korzystam też z bardzo znanej własności standardowego rozkładu normalnego: \(\displaystyle{ 1-\Phi(x)=\Phi(-x)}\).

[FasolkaBernoulliego]

Hm, chyba nie takie przekombinowane, bo właśnie miałem wysłać dokładnie takie samo uzasadnienie.