Prawdopodobieństwo całkowite teoria vs rachunki

[a4karo]

Innym osobom czytającym ten wątek, które chcą się czegoś nauczyć, polecam uważne przeczytanie rozwiązania wyżej cytowanego i znalezienie co najmniej 3 błędów w zapisie oraz rozumowaniu.

Ja bym raczej odradzał czytanie tych "rozwiązań".

[janusz47]

Zapis \(\displaystyle{ \Omega_{1} \times \Omega_{2} }\) - dwuetapowego zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych nie jest iloczynem kartezjańskim w stricto rozumieniu iloczynu karezjański dwóch zbiorów w teorii mnogości.

Tak samo zapis dwuetapowego modelu doświadczenia losowego: \(\displaystyle{ ( \Omega_{1}, \ \ 2^{\Omega_{1}}, \ \ P_{1}) \times ( \Omega_{2}, \ \ 2^{\Omega_{2}}, \ \ P_{2}). }\)

Ale oznaczenie \(\displaystyle{ 2^{\Omega} }\) - oznacza klasę wszystkich zdarzeń probablizowalnych łącznie ze zdarzeniami pewnym i niemożliwym (jest to zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega, }\) łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym).

Panowie FasolkaBernoulliego a tym bardziej a4karo - proszę powstrzymywać się z uwagami. Nie chcę recenzować Pańskich odpowiedzi na ten post dotyczący rozwiązania zadania. Radzę zapoznać się z wyżej wymienioną literaturą z Teorii Prawdopodobieństwa, żeby móc oceniać.

[FasolkaBernoulliego]

Panowie FasolkaBernoulliego a tym bardziej a4karo - proszę powstrzymywać się z uwagami. Nie chcę recenzować Pańskich odpowiedzi na ten post dotyczący rozwiązania zadania. Radzę zapoznać się z wyżej wymienioną literaturą z Teorii Prawdopodobieństwa, żeby móc oceniać.

Nie wycofuję się z tego co napisałem wcześniej - jak znajdę te książki, to się z ich treścią zapoznam. Bardzo mnie ciekawi, co tam na ten temat piszą.

Z tego co mi wiadomo, to zazwyczaj zapis w rodzaju\(\displaystyle{ ( \Omega_{1}, \ \ 2^{\Omega_{1}}, \ \ P_{1}) \times ( \Omega_{2}, \ \ 2^{\Omega_{2}}, \ \ P_{2}) }\) oznacza przestrzeń produktową (która może podejrzewam odpowiadać temu Twojemu dwuetapowemu doświadczeniu losowemu), ale w niej zbiorem zdarzeń elementarnych jest właśnie w zwykłym rozumieniu iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ \Omega_{1} \times \Omega_{2} }\). Poświęć parę minut i przeanalizuj swoje rozwiązanie, szczególnie tę część, gdzie wprowadzasz \(\displaystyle{ ( \Omega_{2}, \ \ 2^{\Omega_{2}}, \ \ P_{2}) }\) i spróbuj za \(\displaystyle{ \Omega_2}\) wziąć dwuelementowy zbiór \(\displaystyle{ \{+, -\}}\)... i nie traktuj innych ludzi z góry, bo nie czytali tej samej książki, co Ty - możesz się spotkać z zupełnie niepotrzebną niechęcią.

[janusz47]

Proszę nie pouczać co mam robić i studiować RP.

[Jan Kraszewski]

Proszę nie pouczać co mam robić i studiować RP.

Dostrzegam tu dziwną asymetrię: jak Ty kogoś pouczasz, co ma robić (i to dość autorytatywnie), to jest OK, a jak Ciebie pouczają, to niedobrze.

JK

[janusz47]

Poraz kolejny pytam, dlaczego Pan występuje w roli adwokata? Odpowie Pan, bo jestem głównym moderatorem i wolno bronić innych, pouczać i wrzucać posty do kosza, gdy są one niezgodne z regulaminem forum. To fakt jest Pan głownym moderatorem, ale nie upoważnia to Pana do pouczania i występowania w roli guru tego forum. Ma Pan tendecje pouczania, wychowywania i wtrącania się podczas odpowiadania na posty. Chętnie przyjmuję wszelkie rady, jeśli są one konstruktywne, trafne i rzeczywiście pouczające. O czy świadczą moje podziękowania.Ale nie w tym przypadku. Użycie pojęcia asymetrii Panie Kraszewski jest tu nietrafne, aczkolwiek oryginalne.

[a4karo]

Regulamin forum
1 janusz47 ma zawsze rację
2

Nie, nie ma pkt. 2

[janusz47]

Drugi sposób rozwiązania zadania, gdy ilości etapów doświadczeń losowych są niewielkie.

Doświadczenie losowe wynikające z treści zadania składa się z dwóch etapów

- dostarczenie żarówek do hurtowni (sklepu) - etap 1

- losowy zakup żarówki z hurtowni (sklepu) - etap 2

Etap pierwszy pozostaje niezmieniony

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1}) }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ X, Y \} }\)

\(\displaystyle{ X - }\) żarówka pochodzi z fabryki X

\(\displaystyle{ Y - }\) żarówka pochodzi z fabryki Y

\(\displaystyle{ P_{1}(X) = 0,6, \ \ P_{1}(Y) = 0,4 }\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega_{1} }\)

Etap drugi- zostaje zmieniony.

Naturalnymi modelami etapu drugiego są pary

\(\displaystyle{ (\Omega^{'}_{2}, P_{2|1}) }\)

\(\displaystyle{ (\Omega^{''}_{2}, P_{2|2}) }\)

\(\displaystyle{ \Omega^{'}_{2} = \{ Ż_{+ X}, Ż_{- X}\}}\)

\(\displaystyle{ \Omega^{''}_{2}= \{ Ż_{+ Y}, Ż_{- Y} \} }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ Ż_{+ X} }\) -żarówka będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ Ż_{- X} }\) - żarówka nie będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ Ż_{+ Y} }\) -żarówka będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ Y }\)

\(\displaystyle{ Ż_{- Y} }\) -żarówka nie będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ Y }\)

Rozkłady prawdopodobieństwa na zbiorach \(\displaystyle{ \Omega^{'}_{2}, \ \ \Omega^{''}_{2} }\)

\(\displaystyle{ P_{2|1}: \ \ P_{2|1}(Ż_{+ | X}) = 0,99, \ \ P_{2|1}(Ż_{- | X}) = 0,01 }\)

\(\displaystyle{ P_{2|2|}: \ \ P_{2|2|}(Ż_{+ | Y}) = 0,95, \ \ P_{2|2|}(Ż_{- | Y}) = 0,05 }\)

Zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych drugiego etapu jest suma zbiorów

\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \Omega^{'}_{2} \cup \Omega^{''}_{2}.}\)

Rozkład prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P_{2} = \{ P_{2|1}, P_{2|2} \} }\)

Model dwuetapowego doświadczenia losowego

\(\displaystyle{ (\Omega, P) }\)

\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \{ (X,Ż_{+ X}), (X, Ż_{- X}), (Y, Ż_{+ Y}), (Y, Ż_{- Y})\} }\)

\(\displaystyle{ P = P_{1} \times P_{2}: \ \ P(X, Ż_{+ X}) = P_{1}(X)\cdot P_{2|1}(Ż_{+ X}), \ \ P(X, Ż_{-X}) = P_{1}(X)\cdot P_{2|1}(Ż_{- X}) \ \ P(Y, Ż_{+ Y})= P_{1}(Y)\cdot P_{2|2}( +Y),\\ P((Y, Ż_{- Y}) = P_{1}(Y)\cdot P_{2|2}(-Y) }\)

\(\displaystyle{ P(X, Ż_{+ X}) = 0,6 \cdot 0,99 = 0.594 \ \ P((X, Ż_{- X})= 0,6 \cdot 0,01 = 0,06 , \ \ P((X,Ż_{+ Y}) = 0,4 \cdot 0,95= 0,380,\\ P((Y, Ż_{- Y}) = 0,4 \cdot 0,05 = 0,020. }\)

\(\displaystyle{ A }\) - zakupiona żarówka będzie sprawna ponad \(\displaystyle{ 5000 h. }\)

\(\displaystyle{ P(A) = P((X,Ż_{+ X}) + P((X,Ż_{+ Y}) }\)

\(\displaystyle{ P(A) = 0,594 + 0,380 = 0,974.}\)

Interpretacja otrzymanego prawdopodobieństwa

Realizując dwuetapowe doświadczenie losowe, należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 97,4 \% }\) ogólnej liczby jego wyników, zakupiona żarówka będzie sprawna ponad \(\displaystyle{ 5000 h. }\)

[Jan Kraszewski]

Odpowie Pan, bo jestem głównym moderatorem i wolno bronić innych, pouczać i wrzucać posty do kosza, gdy są one niezgodne z regulaminem forum.

Zgadza się.

Ma Pan tendecje pouczania, wychowywania i wtrącania się podczas odpowiadania na posty.

Czasem gdy widzę, jak traktujesz innych użytkowników, to istotnie trudno mi się powstrzymać.

Chętnie przyjmuję wszelkie rady, jeśli są one konstruktywne, trafne i rzeczywiście pouczające.

Różnie to bywa. Ja bym powiedział, że przyjmujesz tylko te, które Ty uznasz za trafne. Czasami zaś jesteś bardzo odporny na argumentację (nawet w sytuacjach, gdy popełniasz ewidentne błędy), co samo w sobie nie byłoby zarzutem (nikt nie ma obowiązku zgadzać się z argumentami innych osób), gdybyś merytorycznie odnosił się do uwag, z którymi się nie zgadzasz. Ty tymczasem bardzo szybko uderzasz tony emocjonalne w stylu "proszę mnie nie pouczać", tak jak w tym wątku. Pojawiły się konkretne zastrzeżenia pod adresem Twojego rozwiązania, a Ty używasz argumentu w stylu "Zarzuty są bezpodstawne i świadczą o braku wiedzy, dotyczącej stosowania oznaczeń i metodyki modelowania etapowych doświadczeń losowych." Jeżeli komuś zarzuca się brak wiedzy, to należałoby to wykazać, na czym opiera się ten zarzut, w przeciwnym razie jest to pomówienie.

JK

[FasolkaBernoulliego]

Panie Januszu, drugie rozwiązanie bardziej mi odpowiada, jeszcze trochę i się zgodzę z jego poprawnością. Kilka uwag:

\(\displaystyle{ Ż_{+ X} }\) -żarówka będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ Ż_{- X} }\) - żarówka nie będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ Ż_{+ Y} }\) -żarówka będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ Y }\)

\(\displaystyle{ Ż_{- Y} }\) -żarówka nie będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ Y }\)

Tutaj trochę mylący opis słowny, sugerujący, że np. \(\displaystyle{ Ż_{+ X} }\) to iloczyn zdarzeń "żarówka będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\)" i
"żarówka pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ X }\)", może zgrabniej byłoby napisać "żarówka pochodząca z fabryki X będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\)".

Zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych drugiego etapu jest suma zbiorów
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \Omega^{'}_{2} \cup \Omega^{''}_{2}.}\)
Rozkład prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P_{2} = \{ P_{2|1}, P_{2|2} \} }\)

Tutaj dla mnie nie jest jasne czym tak w zasadzie jest \(\displaystyle{ P_{2} = \{ P_{2|1}, P_{2|2} \} }\), czy to po prostu oznaczenie zbioru dwóch funkcji prawdopodobieństwa działających na \(\displaystyle{ \Omega^{'}_{2} }\) i \(\displaystyle{ \Omega^{''}_{2}}\) odpowiednio? W jakim sensie jest to rozkład na sumie \(\displaystyle{ \Omega_{2} = \Omega^{'}_{2} \cup \Omega^{''}_{2}}\)? Jakie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało zbiorów mierzalnych? Ile wynosi np. prawdopodobieństwo od \(\displaystyle{ \{ Ż_{- Y}, Ż_{+ Y}, Ż_{- X} \}}\)?

\(\displaystyle{ (\Omega, P) }\)

\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \{ (X,Ż_{+ X}), (X, Ż_{- X}), (Y, Ż_{+ Y}), (Y, Ż_{- Y})\} }\)

\(\displaystyle{ P = P_{1} \times P_{2}: \ \ P(X, Ż_{+ X}) = P_{1}(X)\cdot P_{2|1}(Ż_{+ X}), \ \ P(X, Ż_{-X}) = P_{1}(X)\cdot P_{2|1}(Ż_{- X}) \ \ P(Y, Ż_{+ Y})= P_{1}(Y)\cdot P_{2|2}( +Y),\\ P((Y, Ż_{- Y}) = P_{1}(Y)\cdot P_{2|2}(-Y) }\)

Tutaj oczywiście wciąż nie mogę się zgodzić, dopóki nie zostanie zdefiniowane czym miałoby być \(\displaystyle{ \Omega_{1} \times \Omega_{2}}\) i \(\displaystyle{ P_{1} \times P_{2}}\). Jeżeli "\(\displaystyle{ \times}\)" oznacza iloczyn kartezjański, to może raczej
\(\displaystyle{ \Omega = (\{X\} \times \Omega_{2}') \cup (\{Y\} \times \Omega_{2}'') = \{ (X,Ż_{+ X}), (X, Ż_{- X}), (Y, Ż_{+ Y}), (Y, Ż_{- Y})\} }\)
Oczywiście wtedy \(\displaystyle{ P}\) nie jest miarą produktową, czego by się można było spodziewać po zapisie \(\displaystyle{ P = P_{1} \times P_{2}}\), tylko po prostu miarą prawdopodobieństwa na \(\displaystyle{ \Omega }\) zdefiniowaną według podanego schematu.

Podsumowując, dzielimy zbiór \(\displaystyle{ \Omega_1}\) na sumę rozłączną zbiorów mierzalnych o dodatnim prawdopodobieństwie
\(\displaystyle{ \Omega_1 = \bigsqcup \Omega_{1i}}\),
w tym przypadku
\(\displaystyle{ \Omega_{11} = \{X\}}\), \(\displaystyle{ \Omega_{12} = \{Y\}}\),
następnie budujemy dla każdej składowej "etap drugi", a następnie je sklejamy z powrotem według podanego przez Ciebie schematu. Dobrze myślę?

[a4karo]

Dla mnie to jest kliniczny przykład jak można zamordować proste zadanie.

[janusz47]

FasolkaBernouliego niepotrzebnie komplikujesz prosty dwuetapowy model doświadczenia losowego. Czy się zgadzsz czy nie zgadzasz z pewnymi oznaczeniami, to nie ma znaczenia. Kontynuuję metodykę rozwiązywania zadań z Rachunku Prawdopodobieństwa Pana Profesora Lecha Tadeusza Kubika z UW, którego kiedyś miałem przyjemność kiedyś znać i słuchać jego wykładów. Znak \(\displaystyle{ \times }\) używany dla prawdopodobieństw, to nie ich iloczyn kartezjański a oznaczenie rozkład brzegowego.

[FasolkaBernoulliego]

FasolkaBernouliego niepotrzebnie komplikujesz prosty dwuetapowy model doświadczenia losowego. Czy się zgadzsz czy nie zgadzasz z pewnymi oznaczeniami, to nie ma znaczenia. Kontynuuję metodykę rozwiązywania zadań z Rachunku Prawdopodobieństwa Pana Profesora Lecha Tadeusza Kubika z UW, którego kiedyś miałem przyjemność kiedyś znać i słuchać jego wykładów. Znak \(\displaystyle{ \times }\) używany dla prawdopodobieństw, to nie ich iloczyn kartezjański a oznaczenie rozkład brzegowego.

Mam przed sobą drugą z zaproponowanych przez Ciebie książek, otworzyłem na rozdziale IX. Wieloetapowe doświadczenia zależne. Patrzę na przykład pierwszy (w którym rozważany problem jest zupełną analogią naszego) i przerabiam go, zachowując wszystkie oznaczenia z książki tak, żeby był zgodny z naszym zadaniem (autor książki niezbyt rygorystycznie traktuje subtelną różnicę pomiędzy \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \{a\}}\), pozwoliłem sobie zachować tę tendencję).

Mamy dwa etapy:
1) wybór fabryki
2) wybór żarówki

Zbiorem możliwych wyników pierwszego etapu jest
\(\displaystyle{ \Omega_1 = \{X, Y\}}\),
natomiast zbiorem możliwych wyników drugiego etapu jest
\(\displaystyle{ \Omega_2 = \{+, -\}}\).

Zbiorem możliwych wyników doświadczenia dwuetapowego jest zbiór
\(\displaystyle{ \Omega^{(2)} = \Omega_1 \times \Omega_2}\)
(Uwaga: dla autora książki \(\displaystyle{ \times}\) o dziwo oznacza iloczyn kartezjański)

Zadanie polega na wyznaczeniu
\(\displaystyle{ (\Omega^{(2)} , P^{(2)})}\),
gdzie rozkład \(\displaystyle{ P^{(2)}}\) należy wyznaczyć na podstawie treści zadania.

W pierwszym etapie
\(\displaystyle{ \Omega_1 = \{X, Y\}, \quad P_1(X) = 0.6, \quad P_1(Y) = 0.4}\).

W etapie drugim tworzymy dwie przestrzenie prob. (dla dwóch doświadczeń cząstkowych)
\(\displaystyle{ (\Omega_2, P_{2|X}), (\Omega_2, P_{2|Y}) }\)
Rozkłady prawdopodobieństwa określamy następująco:
\(\displaystyle{ P_{2|X} (-) = 0.01, \quad P_{2|X} (+) = 0.99}\)
\(\displaystyle{ P_{2|Y} (-) = 0.05, \quad P_{2|Y} (+) = 0.95}\)

Następnie określamy (zgodnie z podaną przez Ciebie zasadą) \(\displaystyle{ P^{(2)}}\) na iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ \Omega^{(2)}}\).
\(\displaystyle{ P^{(2)}((a,b)) = P_1(a) \cdot P_{2|a}(b), \quad a = X,Y \quad b = +,-}\)
co pozwala nam wyliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A (żarówka była sprawna dłużej niż 5000h)
\(\displaystyle{ A = \Omega_1 \times \{ + \} = \{(X,+), (X,-)\}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = 0.6 \cdot 0.99 + 0.4 \cdot 0.95 = 0.974}\)

Teraz odchodzę od przykładu 1 i korzystam z informacji zawartej w przykładzie 3 (skoro wspomniałeś o rozkładach brzegowych).
Możemy na \(\displaystyle{ \Omega_2}\) wprowadzić prawdopodobieństwo brzegowe \(\displaystyle{ P_2}\)
\(\displaystyle{ P_2(a) = P^{(2)}(\Omega_1 \times a), a = +,-}\).

Zauważ, że nie jest to produkt prawdopodobieństw i nie jest w żadnym miejscu oznaczane przy użyciu symbolu \(\displaystyle{ \times}\), gdyż autor miał świadomość, że tego oznaczenia używa (np. w rozdziale 2.3) dla miary produktowej (którą zresztą nazywa też iloczynem kartezjańskim prawdopodobieństw).

Na koniec nasuwa mi się pewna refleksja. Skoro uczęszczałeś na wykłady Profesora, a on niestety już jakiś czas nie żyje, to znaczy, że przez co najmniej 12 lat... Nie, jednak tego nie napiszę, bo mnie to zbyt przeraża. Może dla uczczenia jego czci postaraj się zrozumieć, o czym pisał, zamiast chaotycznie przepisywać używane przez niego oznaczenia. Pozdrawiam.

[janusz47]

Twoje oznaczenia \(\displaystyle{ \{ + - \} }\) moje \(\displaystyle{ \{Ż+, Ż- \},}\) profesora oznaczenia \(\displaystyle{ \{U_{1}, U_{2}\}}\), bo dotyczyły oznaczenia urn. Cieszę się wyszedłeś z własnego chaosu (biorąc pod uwagę Twój pierwszy i następne posty rozwiązania tego zadania) i poznałeś modelowanie wieloetapowych doświadczenia losowych.

Pisałem , że nie jest to iloczyn kartezjański zbiorów rozumieniu teorii zbiorów, bo jeśli na przykład mamy jednoczesne losowanie dwóch kul, to elementami dwuetapowego doświadczenia losowego nie są nie pary uporządkowane jak w przypadku losowania kolejnego, lecz elementy zbiorów dwuelementowych na przykład \(\displaystyle{ \{ b, c\}. }\)

W pierwszym z podręczników spotykamy się z oznaczeniami również dla przypadku, gdy ilość etapów pośrednich doświadczenia losowego jest większa niż na przykład trzy. Wtedy nie tworzymy tylu modeli warunkowych - pośrednich.

Wyrażam wdzięczność, że zainteresowałeś się z z internetu Śp. Profesorem Lechem Tadeuszem Kubikiem i jego drugim podręcznikiem.

Proszę, nie pouczaj i nie krytykuj innych.

[FasolkaBernoulliego]

\(\displaystyle{ A = \Omega_1 \times \{ + \} = \{(X,+), (X,-)\}}\)

Oczywiście miało być
\(\displaystyle{ A = \Omega_1 \times \{+\} = \{(X,+), (Y,+)\}}\).

Twoje oznaczenia \(\displaystyle{ \{ + - \} }\) moje \(\displaystyle{ \{Ż+, Ż- \},}\) profesora oznaczenia \(\displaystyle{ \{U_{1}, U_{2}\}}\), bo dotyczyły oznaczenia urn.

To teraz wytłumacz jeszcze co miałeś na myśli pisząc \(\displaystyle{ \Omega_2 = \{Ż_{+X}, Ż_{-X}, Ż_{+Y}, Ż_{-Y} \}}\) i potem \(\displaystyle{ \Omega_1 \times \Omega_2 = \{(X,Ż_{+X}), (X,Ż_{-X}), (Y,Ż_{+Y}), (Y,Ż_{-Y}) \}}\)... Po lewej stronie stoi iloczyn kartezjański, po prawej zbiór możliwych trajektorii, który byłby równy lewej stronie, gdyby było \(\displaystyle{ \Omega_2 = \{Ż+, Ż- \}}\), tak jak to napisałeś teraz.

Wyrażam wdzięczność, że zainteresowałeś się z z internetu Śp. Profesorem Lechem Tadeuszem Kubikiem i jego drugim podręcznikiem.

Również cieszę się, że miałem okazję zajrzeć do tego podręcznika, raczej nie straciłem swojego czasu.

To teraz przejdźmy do sedna problemu. Jaki jest sens budować taki model, który w przytoczonej książce służy jako wstęp do łańcuchów Markowa i ma czytelnika łagodnie wprowadzić w pojęcia prawdopodobieństw przejścia, rozkładów brzegowych i miar na trajektoriach, jako rozwiązanie zadania z pierwszego postu tego wątku?