Prawdopodobieństwo całkowite teoria vs rachunki

[Zaratustra]

Wiem, że straszna ściana tekstu, a wyjaśnienie będzie banalne ale chciałem najaśnić czego nie rozumiem. Będę bardzo wdzięczny za poświęcenie chwili na wyartykułowanie tego wyjaśnienia :C

Tak długo sam do tego nie doszedłem, że ze wstydem proszę o pomoc w zrozumieniu.
Prawdopodobieństwo całkowite: zadania zwykle nie sprawiają mi problemu. Ale zupełnie nie zgadza się moje rozumienie definicji i twierdzenia z metodą liczenia. A wyraźnie problem leży w ogóle w błędnym przyłożeniu definicji prawdopodobieństwa do "eksperymentu".

Weźmy przykład podany w temacie "Twierdzenie_o_prawdopodobieństwie_całkowitym" z wikipedii:

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Żarówki z fabryki \(\displaystyle{ X}\) działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki \(\displaystyle{ Y}\) tylko w 95% przypadków. Fabryka \(\displaystyle{ X}\) dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Ja bym policzył to tak, (i tak samo jest na wiki):
\(\displaystyle{ B_1}\) ~ "kupiona żarówka b. wypr. w zakładzie \(\displaystyle{ X}\)"; \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B_1)=\frac{6}{4}}\).
\(\displaystyle{ B_2}\) ~ "kupiona żarówka b. wypr. w zakładzie \(\displaystyle{ Y}\)"; \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B_2)=\frac{4}{10}}\).
\(\displaystyle{ A}\) ~ "żarówka b. spr. dłużej niż 5000h";

Z treści:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A|B_1)=\frac{99}{100}}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A|B_2)=\frac{95}{100}}\).
Z drzewka, albo od razu rachując:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A|B_1)\cdot \mathbb{P}(B_1)+\mathbb{P}(A|B_2)\cdot\mathbb{P}(B_2)=\ldots=\frac{974}{1000}}\)
Powyższy rachunek to wzór z Twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, a (jednym z) warunkiem aby zachodził jest, że
\(\displaystyle{ B_1\cup B_2 = \Omega}\).
Ale mi się (na pewno błędnie) wydaje, jakoby \(\displaystyle{ A\notin\Omega}\) bo to zdarzenie jest zupełnie innej postaci: \(\displaystyle{ A\notin B_1\cup B_2=\Omega}\).
A twierdzenie mówi, że
"dla każdego \(\displaystyle{ A\in\Omega}\): \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\sum\ldots}\) itd..." i na tej podstawie "się go używa" w tego typu zadaniach...

Koślawo zapisując moje "rozumienie":
\(\displaystyle{ \Omega\subseteq \{\text{"Zdarzenia elementarne będące typu: dana żarówka kupiona w tym czy owym zakładzie"}\} }\)
a \(\displaystyle{ A}\) jest zdarzeniem zupełnie innej postaci. I zawsze w tego typu zadaniach, eksperyment jest kilkuetapowy i na każdym etapie mamy zdarzenia, w pewien sposób "innego typu"... Myślę jak to zinterpretować, żeby \(\displaystyle{ A}\) zawierało się w tych zdarzeniach \(\displaystyle{ B_i}\) ... :C

[a4karo]

Zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie konkretnej żarówki, a zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór żarówek.
W tym zbiorze masz podzbiór żarówek, które zostały wyprodukowane w `B_1`, i te wyprodukowane w `B_2`, i te, które świecą na czerwono, i te, które będą świeciły dłużej niż 5000 godz. i mnóstwo innych.

[janusz47]

Doświadczenie losowe wynikające z treści zadania składa się z dwóch etapów

- dostarczenie żarówek do hurtowni (sklepu) - etap 1

- losowy zakup żarówki z hurtowni (sklepu) - etap 2

Etap pierwszy

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1}) }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ X, Y \} }\)

\(\displaystyle{ X - }\) żarówka pochodzi z fabryki X

\(\displaystyle{ Y - }\) żarówka pochodzi z fabryki Y

\(\displaystyle{ P_{1}(X) = 0,6, \ \ P_{1}(Y) = 0,4 }\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega_{1} }\)

Etap drugi

\(\displaystyle{ (\Omega_{2}, P_{2}) }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{Ż_{+ X}, Ż_{- X}, Ż_{+ Y}, Ż_{- Y} \},}\)

\(\displaystyle{ Ż_{+ X} }\) -żarówka będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ Ż_{- X} }\) - żarówka nie będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ Ż_{+ Y} }\) -żarówka będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ Y }\)

\(\displaystyle{ Ż_{- Y} }\) -żarówka nie będzie świeciła ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\) i pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ Y }\)

\(\displaystyle{ P_{2}: P(Ż_{+ X}) = 0,99, \ \ P(Ż_{- X}) = 0,01 \ \ P(Ż_{+ Y}) = 0,95, \ \ P(Ż_{- Y}) = 0,05 }\)

Model dwuetapowego doświadczenia losowego

\(\displaystyle{ (\Omega, P) }\)

\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \{ (X,Ż_{+ X}), (X, Ż_{- X}), (Y, Ż_{+ Y}), (Y, Ż_{- Y}) \} }\)

\(\displaystyle{ P = P_{1} \times P_{2}: \ \ P(X, Ż_{+ X}) = 0,6 \cdot 0,99 = 0.594 \ \ P((X, Ż_{- X})= 0,6 \cdot 0,01 = 0,06 , \ \ P((X,Ż_{+ Y}) = 0,4 \cdot 0,95= 0,380,\\ P((Y, Ż_{- Y}) = 0,4 \cdot 0,05 = 0,020. }\)


\(\displaystyle{ A }\) - zakupiona żarówka będzie sprawna ponad \(\displaystyle{ 5000 h }\)

\(\displaystyle{ P(A) = P((X,Ż_{+ X}) + P((X,Ż_{+ Y}) }\)

\(\displaystyle{ P(A) = 0,6 \cdot 0,99 + 0,4 \cdot 0,95 = 0,974.}\)

Interpretacja otrzymanego prawdopodobieństwa

Realizując dwuetapowe doświadczenie losowe, należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 97,4 \% }\) ogólnej liczby jego wyników, zakupiona żarówka będzie sprawna ponad \(\displaystyle{ 5000 h. }\)

[FasolkaBernoulliego]

Myślę, że kłopot ze zrozumieniem może być powiązany z problemem w zapisie. Nie chodzi mi oczywiście o błąd typu \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B_1)=\frac{6}{4}}\), bo to raczej literówka, ale np.
\(\displaystyle{ A\notin\Omega}\) lub \(\displaystyle{ A\notin B_1\cup B_2=\Omega}\)
Ten zapis nie za bardzo ma sens, bo zdarzenia \(\displaystyle{ (A, B_1, B_2, \Omega)}\) są tak jakby na jednym poziomie. Więc nie może jedno zdarzenie należeć \(\displaystyle{ (\in)}\) do drugiego, a raczej być jego (podzdarzeniem / podzbiorem) \(\displaystyle{ A \subset B_1\cup B_2=\Omega}\).
Myślę, że w tym konkretnym zadaniu warto myśleć o zdarzeniu elementarnym, czyli elemencie \(\displaystyle{ \Omega}\), jako o parze \(\displaystyle{ (F, S)}\), gdzie \(\displaystyle{ F \in \{X, Y \}, S \in {0, 1}}\) oznaczają odpowiednio, że wylosowana żarówka jest wyprodukowana w fabryce X lub Y oraz jest niesprawna / sprawna (będzie działać krócej lub dłużej niż 5000h - oczywiście to jest uproszczenie, bo w rzeczywistości czas sprawności żarówki nie jest z góry określony, też jest losowy, ale w tym zadaniu raczej chodzi o podzielenie żarówek na dwie grupy - "dobre" i "złe"). Przy tak prostej strukturze \(\displaystyle{ \Omega}\) nie ma problemu ze strukturą mierzalną, mamy tylko 16 możliwych zdarzeń (tyle jest podzbiorów czteroelementowej \(\displaystyle{ \Omega = \{ (X, 0), (X, 1), (Y, 0), (Y, 1) \}}\). Według tego zapisu Twoje zdarzenia można zapisać tak:
\(\displaystyle{ B_1 = \{ (X, 0), (X, 1) \}}\)
\(\displaystyle{ B_2 = \{ (Y, 0), (Y, 1) \}}\)
\(\displaystyle{ A = \{ (X, 1), (Y, 1) \}}\)
Problem zadania polega na tym, że nie mamy bezpośrednio zadanego prawdopodobieństwa na zdarzeniach \(\displaystyle{ A \subset \Omega}\), a mamy jedynie pośrednie informacje na jego temat, mianowicie:
\(\displaystyle{ P(B_1) = 0,6}\)
\(\displaystyle{ P(B_2) = 0,4}\)
\(\displaystyle{ P(A | B_1) = 0,99}\)
\(\displaystyle{ P(A | B_2) = 0,95}\)
Zauważ, że z def. prawd. warunkowego np.
\(\displaystyle{ P(A | B_1) = \frac{P (A \cap B_1)}{P(B_1)}}\),
skąd
\(\displaystyle{ P(A \cap B_1) = P (A | B1) P(B_1)}\)
Tak samo
\(\displaystyle{ P(A \cap B_2) = P (A | B2) P(B_2)}\)
Dalej, ponieważ \(\displaystyle{ B_1\cup B_2=\Omega}\), to
\(\displaystyle{ P(A) = P(A \cap \Omega) = P\Big(A \cap (B_1\cup B_2)\Big) = P\Big((A \cap B_1) \cup (A \cap B_2)\Big)}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ B_2}\) są rozłączne, to \(\displaystyle{ A \cap B_1}\) i \(\displaystyle{ A \cap B_2}\) też i mamy z def. prawd.
\(\displaystyle{ P\Big((A \cap B_1) \cup (A \cap B_2)\Big) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2)}\),
co z def. prawd. warunkowego daje Ci wzór na prawd. całkowite.
Cały Twój problem polega na tym, że myślisz o zdarzeniach jak o elementach zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\), ale formalnie nawet nie da się policzyć prawdopodobieństwa elementów tego zbioru. Zdarzenia to (odpowiednie w ogólności, u nas każde) podzbiory \(\displaystyle{ \Omega}\).

Edit: Ups, parę minut się spóźniłem.

[janusz47]

FasolkaBernoulliego modelowanie doświadczeń losowych powinno być czytelne i odpowiadać treści zadania.

[FasolkaBernoulliego]

Janusz, moim zdaniem Twój sposób modelowania jest nieczytelny. Po co pisać np. \(\displaystyle{ (X, Ż_{+X})}\)? Tak jak to robisz, to \(\displaystyle{ \Omega_2}\) jest już gotową przestrzenią zdarzeń elementarnych, nie trzeba dodatkowo wprowadzać iloczynu kartezjańskiego z \(\displaystyle{ \Omega_1}\) (zresztą iloczyn kartezjański zbioru 2- i 4- elementowego powinien mieć 8 elementów, a nie 4...). Ponadto wątpliwe są dla mnie wartości i interpretacja tekstowa prawdopodobieństw na poziomie \(\displaystyle{ \Omega_2}\) - prawdopodobieństwo sumuje się do 2... Dodatkowo popełniasz skrót myślowy, który moim zdaniem powoduje kłopoty ze zrozumieniem, tzn. piszesz o wartościach prawdopodobieństwa na elementach \(\displaystyle{ \Omega}\), a dziedziną \(\displaystyle{ P}\) nie jest \(\displaystyle{ \Omega}\), to nie funkcja losowa tylko funkcja prawdopodobieństwa.
Podoba mi się podkreślenie dwóch etapów w doświadczeniu. Myślę, że po doprowadzeniu do poprawnej formy może pomóc autorowi wątku w zrozumieniu, a to jest chyba najważniejsze.

[janusz47]

FasolkaBernoulliego naucz się modelować wieloetapowe doświadczenia i nie pakuj do jednego prostego dwuetapowego doświadczenia losowego swoje "nieuczesane" wiadomości z teorii prawdopodobieństwa, bo wtedy zatraca się model doświadczenia związany z treścią zadania. Niejednokrotnie pisałem już o tym na tym forum.

[FasolkaBernoulliego]

Mógłbym poprosić o jakąś literaturę? No i może zamiast odnosić się do mojej oczywistej niewiedzy, odnieś się do wymienionych przeze mnie zarzutów względem Twojego sposobu modelowania.

[Zaratustra]

\(\displaystyle{ A\notin B_1\cup B_2}\) - to literówka: chciałem wyrazić \(\displaystyle{ A\nsubseteq B_1\cup B_2}\). W części gdzie próbuję "koślawo" tłumaczyć moje rozumienie to chyba najbardziej widać:

Zdarzenie elementarne: Kupienie żarówki danego typu.
\(\displaystyle{ \Omega}\) - wszystkie zdarzenia elementarne w eksperymencie.
\(\displaystyle{ \mathcal{F}\subseteq 2^\Omega}\) - zdarzenia.
\(\displaystyle{ H_1, H_2\in\mathcal{F}}\) - każdy zbiór to kilka zdarzeń elementarnych typu: "kupienie żarówki - kryterium, to fabryka w której wyprodukowano żarówkę."
\(\displaystyle{ A\in\mathcal{F}}\) - zbiór zdarzeń elementarnych, każde typu "kupienie żarówki, takiej że świeci dłużej niż \(\displaystyle{ 5000h}\)".

Faktycznie teraz tak patrząc, to mimo, że \(\displaystyle{ A}\) "wycina" z \(\displaystyle{ \Omega}\) pewne zdarzenia elementarne ("kupienia danej żarówki") według kryterium "świeci dłużej niż..." to te zdarzenia elementarne należące do \(\displaystyle{ A}\) nie są jakoś magicznie pozbawione atrybutu "wyprodukowano w ..." - nie wiem, czemu jakoś tak głupio rozumowałem... mimo, że znam definicje, to mój mózg jakoś patrzył na te literki \(\displaystyle{ A, B_1, B_2}\) jak na jakieś zbiory stwierdzeń "żarówka jest taka" a nie jako zbiór "wylosowanych żarówek" z ich wszystkimi własnościami.
Jakieś zaciemnienie chwilowe.

Czyli jak najbardziej \(\displaystyle{ A}\) może zawierać się w \(\displaystyle{ B_1\cup B_2}\) a tym bardziej: MUSI się zawierać, skoro \(\displaystyle{ B_1\cup B_2 = \Omega}\) - a to jest jasne bo \(\displaystyle{ B_2, B_1}\) razem wyczerpują możliwości istnienia żarówki ze względu na kryterium "gdzie wyprodukowano" więc dowolna żarówka zbioru \(\displaystyle{ A}\) (spełniająca kryterium "świeci dłużej niż...") należy albo do 1-szego albo do 2-go.

Fajnie dla mnie rozpisałeś janusz47, biorąc pod uwagę z czym miałem problem. Dzięki wszystkim za poświęcenie czasu i odpowiedzenie!

[FasolkaBernoulliego]

Super, cieszę się, że mogliśmy pomóc!

[janusz47]

LECH TADEUSZ KUBIK RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA PODRĘCZNIK DLA KIERUNKÓW NAUCZYCIELSKICH STUDIÓW MATEMATYCZNYCH. PWN Warszawa 1980.

LECH TADEUSZ KUBIK i ANDRZEJ KRUPOWICZ WPROWADZENIE DO RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I JEGO ZASTOSOWAŃ PWN WARSZAWA 1982.

[FasolkaBernoulliego]

LECH TADEUSZ KUBIK RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA PODRĘCZNIK DLA KIERUNKÓW NAUCZYCIELSKICH STUDIÓW MATEMATYCZNYCH. PWN Warszawa 1980.

LECH TADEUSZ KUBIK i ANDRZEJ KRUPOWICZ WPROWADZENIE DO RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I JEGO ZASTOSOWAŃ PWN WARSZAWA 1982.

Okej, zobaczę po weekendzie czy mamy takie cuda w bibliotece. Dzięki! Jednak prosiłbym w miarę możliwości o odniesienie się do wymienionych przeze mnie zarzutów względem Twojego modelu.

[janusz47]

Zarzuty są bezpodstawne i swiadczą o braku wiedzy, dotyczącej stosowania oznaczeń i metodyki modelowania etapowych doświadczeń losowych.

[Jan Kraszewski]

Zarzuty są bezpodstawne i swiadczą o braku wiedzy, dotyczącej stosowania oznaczeń i metodyki modelowania etapowych doświadczeń losowych.

Aha. To zacytuję Cię:

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ X, Y \} }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{Ż_{+ X}, Ż_{- X}, Ż_{+ Y}, Ż_{- Y} \},}\)

\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \{ (X,Ż_{+ X}), (X, Ż_{- X}), (Y, Ż_{+ Y}), (Y, Ż_{- Y}) \} }\)

Wytłumacz proszę, o czym świadczy powyższy zapis? O braku wiedzy, czym jest iloczyn kartezjański dwóch zbiorów?

JK

[FasolkaBernoulliego]

Zarzuty są bezpodstawne i swiadczą o braku wiedzy, dotyczącej stosowania oznaczeń i metodyki modelowania etapowych doświadczeń losowych.

Dziękuję za konstruktywną odpowiedź... Fakt, że pierwsza podana przez Ciebie pozycja to książka dla kierunków nauczycielskich, brak konkretnej odpowiedzi na stawiane pytania poprzez notoryczne odnoszenie się do mojego braku wiedzy, używanie określeń zawierających "metodyka" oraz nastawienie na zasadzie "jeżeli myślisz inaczej, niż ja, to myślisz źle" mogą sugerować, że jesteś lub masz aspiracje zostać nauczycielem w mało ambitnej placówce dydaktycznej. Tego typu podejście prawdopodobnie tam się sprawdzi i skutecznie zabijesz ciekawość w stadku dzieci, które mogłyby zostać matematykami. Powodzenia.

Innym osobom czytającym ten wątek, które chcą się czegoś nauczyć, polecam uważne przeczytanie rozwiązania wyżej cytowanego i znalezienie co najmniej 3 błędów w zapisie oraz rozumowaniu.