Własność warunkowej wartości oczekiwanej

[PLrc]

Czy warunkowa wartość oczekiwana ma własność
\(\displaystyle{ \mathbb E [f(X,Y)|Y=y] =\mathbb E f(X,y)}\)?
Zgaduję, że tak. Tylko jak to udowodnić?
(\(\displaystyle{ f(X,Y)}\) jest pewnym wyrażeniem zbudowanym ze zmiennych losowych X i Y.)

[FasolkaBernoulliego]

Czy \(\displaystyle{ \mathbb{1}_{\{Y=y\}}(\omega) f(X,Y)(\omega) = \mathbb{1}_{\{Y=y\}}(\omega) f(X,y)(\omega)}\) ?