Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera

Post autor: FasolkaBernoulliego » 23 sty 2020, o 20:27

Przenoszę niżej cytowany problem do nowego tematu, żeby mogli się Państwo nad nim zastanowić niezależnie od zadania rozważanego uprzednio. Rzecz o ciągu niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Rademachera zadanych poniższym wzorem (mam nadzieję, że dobrze go wymyśliłem) i jego granicy.
FasolkaBernoulliego pisze:
23 sty 2020, o 18:03
Przepraszam za odświeżanie tematu, ale moje pytanie dotyczy dokładnie tego zadania. Kontekst i samo zadanie znaleźć można na stronie MIMUW.
Samo zadanie jest chyba dość proste (ciąg nie może zbiegać wg prawdopodobieństwa), natomiast zastanawia mnie inny, bezpośrednio powiązany problem. Rozpatrzmy \(\displaystyle{ \left( \Omega = (0,1), \mathcal{F} = \mathcal{B}(\Omega) \right)}\) wyposażoną w miarę Lebesgue'a i zdefiniujmy dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ X_n (\omega) = \begin{cases} -1, \quad \omega \in A_n \\ \ 1, \quad \omega \in B_n \\ \ 0, \quad \text{ w pozostałych przypadkach}\end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ A_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k}{2^n}, \frac{2k+1}{2^n} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ B_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k+1}{2^n}, \frac{2k+2}{2^n} \right) }\).
Zmienne \(\displaystyle{ X_n}\), o ile dobrze myślę, są niezależne i mają rozkłady jak w zadaniu. Jaka jest sensowna granica \(\displaystyle{ X_n}\)? W sensie słabym zdaje się, że każdy z elementów tego ciągu jest jego granicą, ale czy da się wybrać granicę w jakimś rozsądnym sensie "lepszą"?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3129
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera

Post autor: leg14 » 27 sty 2020, o 22:28

Czy ja dobrze rozumiem, że intencją tu jest:
dla ustalonego n
dzielimy na odcinki długości \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n} }\)
na parzystych odcinkach wartość 1, na nieparzystych wartość -1 ?
(bo z zapisu to nie wynika)

Dodano po 2 minutach 12 sekundach:
I jeszcze dodam, że
W sensie słabym zdaje się, że każdy z elementów tego ciągu jest jego granicą
jest nieprawdą

FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera

Post autor: FasolkaBernoulliego » 27 sty 2020, o 22:31

Taką miałem intuicję. A co wynika z zapisu?

W sensie słabym miałem na myśli zbieżność według rozkładu, podejrzewam, że to co napisałem może znaczyć co innego. Dlaczego jest to nieprawdą?

Dzięki za zainteresowanie, bo już się obawiałem, że nikt nie podejmie tematu. :)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3129
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera

Post autor: leg14 » 27 sty 2020, o 22:46

Edit: brakuje jeszcze okreslenia, co się dzieje na granicach przedziałów, uznaję, ze patrzymy na przedziały postaci [,)
Taką miałem intuicję. A co wynika z zapisu?

Najbardziej "na prawo" przedział jaki osiągniesz będzie miał postać \(\displaystyle{ (\frac{2n -2}{2^n}, \frac{2n}{2^n} }\)
W sensie słabym miałem na myśli zbieżność według rozkładu, podejrzewam, że to co napisałem może znaczyć co innego. Dlaczego jest to nieprawdą?
A dobra sorry jest prawdą, mają ten sam rozkład xd więc co mają nie zbiegać do siebie nawzajem.
Tutaj jest taki problem, że zbieżnośc słaba zależy tylko od rozkładu, więc te całe machinacje z dzieleniem na odcinki nie mają znaczenia.
Teraz apropo zbiezności prawie na pewno, według P, w Lp:
a) rodzina jest jednostajnie całkowalna, więc według P ---> Lp
b) twierdzę, że nie ma zbieżności prawie na pewno (ale weź to sprawdź):
weźmy sobie liczbę niewymierną \(\displaystyle{ r }\) i popatrzmy na jej zapis w systemie binarnym.
wygląda na to, że jedynki i zera na kolejnych "współrzędnych" odpwiadają wartościom na \(\displaystyle{ X_n(r) }\)
Tzn na it-tej pozycji jest 1 wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X_i(r) = 1 }\)

No ok, ale jest to liczba niewymierna, więc juz widać, że nie może być mowy o jakiejkolwiek zbiezności na liczbach niewymiernych, a że liczby nwm mają miarę 1, to nie ma zbieznosci pnp.
Ostatnio zmieniony 27 sty 2020, o 23:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera

Post autor: FasolkaBernoulliego » 27 sty 2020, o 23:25

Pokazanie, że nie ma zbieżności według prawdopodobieństwa można znaleźć w cytowanym wątku, tam było ogólniej. Tutaj chciałem rozważyć konkretny przykład, gdzie te składniki ciągu są niezależne. Chodzi mi o to czy jest coś pomiędzy zbieżnością według rozkładu, a zbieżnością wg prawdopodobieństwa?

Co się dzieje na końcach przedziałów jest określone w definicji zmiennej - przyjmuje ona tam 0, ale to nie ma znaczenia, możemy przyjąć 1 lub -1, jak łatwiej będzie na to patrzeć.

W określeniach zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ B_n}\) faktycznie coś dziwnego zrobiłem. Miało by być w górnym indeksie raczej \(\displaystyle{ 2^{n-1} - 1}\) (weź sprawdź, czy tak by było dobrze, bo już nie myślę).

ODPOWIEDZ