Wartość oczekiwana zmiennej mieszanej

[strefa61]

Cześć. Weźmy zmienną losową \(\displaystyle{ X~U\left[ 0,1\right] }\) (rozkład jednostajny). Definiujemy zmienną losową \(\displaystyle{ Y:= \begin{cases} \frac{1}{2} \ \ \ X<\frac{1}{2} \\ X \ \ \ \ X \ge \frac{1}{2}\end{cases} }\). Trzeba policzyć jej wariancję \(\displaystyle{ Y}\).
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ Y\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \int_{\mathbb{R}}t \cdot 1_{t\in \left(\frac{1}{2},1 \right] }\left( t\right) \cdot f_Y (t) dt }\), gdzie \(\displaystyle{ f_Y}\) to ma być jakaś gęstość. Tylko moje pytanie: jak policzyć tą gęstość? Mam wziąć pochodną z tego ciągłego wycinka dystrybuanty:
\(\displaystyle{ F_Y (s) = \begin{cases} 0 \ \ \ s<\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} + s \ \ \ s \in \left[ \frac{1}{2}, 1\right) \\ 1 \ \ \ s \ge 1 \end{cases} }\)
Zatem: \(\displaystyle{ f_Y(s)=\left( \frac{1}{2} + s \right)' \cdot 1_{s\in \left( \frac{1}{2}, 1\right) }\left( s\right) = 1_{s\in \left( \frac{1}{2}, 1\right) }\left( s\right) }\)
Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ Y\right] = \frac{1}{4} + \int_{\mathbb{R}}t \cdot 1_{t\in \left(\frac{1}{2},1 \right] }\left( t\right) dt = \frac{5}{8}}\)
Czy to rozwiązanie jest ok? Zapis się zgadza? (Wariancję już policzę, jeśli będę znał metodę liczenia wartości oczekiwanej zmiennej mieszanej).

[Tmkk]

Odpowiedź się zgadza, ale przede wszystkim, dystrybuanta \(\displaystyle{ F_Y(s)}\) nie jest monotoniczna, a \(\displaystyle{ f_Y(s)}\), które znalazłeś, nie jest gęstością - nie całkuje się do jedynki.

Problem pojawia się z drugim składnikiem (pierwszy bardzo ładnie), czyli \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X1_{X \ge \frac{1}{2}})}\). Zauważ, że jest to po prostu \(\displaystyle{ \mathbb{E}(g(X))}\), dla \(\displaystyle{ g(x) = x1_{x \ge \frac{1}{2}}(x)}\), czyli musisz wycałkować tę funkcję względem gęstości \(\displaystyle{ X}\):

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X1_{X \ge \frac{1}{2}}) = \int_{\mathbb{R}} g(x)f_X(x)dx= \int_{\mathbb{R}} x1_{x \ge \frac{1}{2}}(x) 1_{x \in (0,1)}(x)dx = \int_{\mathbb{R}} x1_{1 > x \ge \frac{1}{2}}(x)dx= \int_{\frac{1}{2}}^1 xdx = \frac{3}{8}}\)

[strefa61]

Dziękuję, chyba zaczynam łapać. Tylko nie wiem co zrobić, jak nie mamy tej funkcji od zmiennej losowej. Np weźmy taką dystrybuantę jakiejś zmiennej \(\displaystyle{ U}\):
\(\displaystyle{ F_U\left( t\right) = \begin{cases} 0 \ \ \ ,t < -1 \\ \frac{1}{4}t + \frac{1}{4} \ \ , t \in \left[ -1,0\right) \\ \frac{1}{2} + \sqrt{t} \ \ , t\in \left[ 0,1\right) \\ 1 \ \ \ \ \ , t \ge 1 \end{cases} }\)
Mamy punkt skokowy w zerze. I chcę policzyć wartość oczekiwaną zmiennej o takim rozkładzie: \(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ U\right]= \mathbf{E}\left[ U_{U\in \left( -1,0\right) }\right] + \mathbf{E}\left[ U_{U\in \left[ 0,1\right) }\right] }\)
I traktuję to teraz w takie sposób:
\(\displaystyle{ F_{U1} \left( t\right) = \frac{1}{4}t + \frac{1}{4} \ \ \ t \in \left( -1, 3\right) }\) - oczywiście wcześniej zera, a potem jedynka.
Liczę gęstość: \(\displaystyle{ f_{U1}(t)=\left( F_{U1} \cdot 1_{t\in \left( -1, 3\right)} \right)' = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ g\left( U\right) = U \cdot 1_{U\in \left( -1,0\right)} }\)
I teraz liczę odpowiednią część wartości oczekiwanej: \(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ U_{U\in \left( -1,0\right) }\right] = \int_{\mathbb{R}} g\left( t\right) f_{U1}(t) dt}\)
I drugą część analogicznie? Czyli po prostu mam każdy ciągły odcinek dystrybuanty 'rozszerzyć' na całe R - tak żeby wyszła ciągła, wziąć z niej gęstość i policzyć to dla funkcji charakterystycznej dla owej rozszerzonej zmiennej - tak, by ta wpadła w przedział, który chcę policzyć. Dobrze myślę?
I jak to będzie wyglądać w tym punkcie skokowym? Mam jeszcze osobno policzyć \(\displaystyle{ \mathbf{E} \left[ U=0 \right] = \frac{1}{4} \cdot 0}\) - wiem, że w tym miejscu i tak się to wyzeruje, ale gdyby punkt skokowy był gdzie indziej, to powinienem to tak policzyć, nie?

[FasolkaBernoulliego]

\(\displaystyle{ F_U\left( t\right) = \begin{cases} 0 \ \ \ ,t < -1 \\ \frac{1}{4}t + \frac{1}{4} \ \ , t \in \left[ -1,0\right) \\ \frac{1}{2} + \sqrt{t} \ \ , t\in \left[ 0,1\right) \\ 1 \ \ \ \ \ , t \ge 1 \end{cases} }\)

Znowu jest problem z tą funkcją, dla \(\displaystyle{ t > \frac{1}{4}}\) masz wartość większą od 1, więc nie może być to dystrybuanta. Rozważmy może
\(\displaystyle{ F_U\left( t\right) = \begin{cases} 0 \ \ \ ,t < -1 \\ \frac{1}{4}t + \frac{1}{4} \ \ , t \in \left[ -1,0\right) \\ \frac{1}{2} (1 + \sqrt{t}) \ \ , t\in \left[ 0,1\right) \\ 1 \ \ \ \ \ , t \ge 1 \end{cases} }\)
Tak jak piszesz, można rozbić problem na trzy części:
\(\displaystyle{ U\in \left( -1,0\right), U\in \left( 0,1\right), U = 0 }\)
Dla dwóch pierwszych liczysz z całki, dla ostatniej z sumy (jednoskładnikowej) i dodajesz. W większej ogólności rozbijasz sobie na przedziały, na których dystrybuanta jest różniczkowalna, a osobno traktujesz punkty nieciągłości (lub całościowo zbiór punktów nieciągłości). Nie wiem co w sytuacji, gdy dystrybuanta nie jest kawałkami różniczkowalna.