Centralne Twierdzenie Graniczne

[Rafcio_srubka]

Witam, proszę o pomoc w zadaniu:

Wykonujemy kolejne, niezależne rzuty symetryczną monetą. Niech \(\displaystyle{ X_{i}=1}\) jeżeli wypada orzeł, \(\displaystyle{ X_{i}=0}\) jeżeli wypada reszka, dla \(\displaystyle{ i=1,...}\). Ile razy należałoby rzucić aby z nierówności Czebyszewa wywnioskować, że prawdopodobieństwo tego, że średnia arytmetyczna \(\displaystyle{ \frac{ X_{1}+...+X_{i} }{i} }\) różni się od 0.5 o więcej niż 0.01 jest mniejsze lub równe od 4%?

Moja propozycja:
\(\displaystyle{ \mu=0 \cdot \frac{1}{2}+1 \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \sigma^{2} =(0- \frac{1}{2} )^{2} \cdot \frac{1}{2} + (1- \frac{1}{2} )^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} }\)

Zatem używając nierówność Czebyszewa mamy:
\(\displaystyle{ P(|X- \frac{2}{3} | > 0.01) \le 0.04}\)
\(\displaystyle{ P(|X- \frac{2}{3} | < 0.01) \ge 0.96}\)

Używając CTG mamy:
\(\displaystyle{ P\left[ \frac{-0.01-0.5}{ \frac{0.5}{ \sqrt{}n } } < \frac{X-\mu}{ \frac{\sigma}{ \sqrt{}n } } < \frac{0.01-0.5}{ \frac{0.5}{ \sqrt{}n } } \right] \ge 0.96}\)

\(\displaystyle{ \phi( \frac{-0.49 \sqrt{} n}{0.5}) - \phi( \frac{-0.51 \sqrt{} n}{0.5} ) \ge 0.96 }\)

\(\displaystyle{ \phi( \frac{0.51 \sqrt{} n}{0.5}) - \phi( \frac{0,49 \sqrt{} n}{0.5}) \ge 0.96 }\)

Zazwyczaj w tym momencie wychodziło mi \(\displaystyle{ 2 \cdot \phi() = \alpha }\) i używałem funkcji odwrotnej \(\displaystyle{ \phi^{-1} }\) i wtedy mogłem wyliczyć szukane \(\displaystyle{ n}\).
Proszę o wskazanie gdzie w moim rozwiązaniu znajduje się błąd lub pomocy w dalszym rozwiązaniu zadania. Będę wdzięczny

[FasolkaBernoulliego]

Moja propozycja:
\(\displaystyle{ \mu=0 \cdot \frac{1}{2}+1 \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \sigma^{2} =(0- \frac{1}{2} )^{2} \cdot \frac{1}{2} + (1- \frac{1}{2} )^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} }\)

Początek super, też bym od tego zaczął. \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\) to charakterystyki każdej ze zmiennych \(\displaystyle{ X_i}\). Zmienna \(\displaystyle{ X = \frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}}\) ma taką samą średnią, ale wariancję (z niezależności i jednakowego rozkładu \(\displaystyle{ X_i}\)) \(\displaystyle{ D^2 X = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{4n}}\).

Zatem używając nierówność Czebyszewa mamy:
\(\displaystyle{ P(|X- \frac{2}{3} | > 0.01) \le 0.04}\)
\(\displaystyle{ P(|X- \frac{2}{3} | < 0.01) \ge 0.96}\)

Tego przyznam się, że nie rozumiem. A dalej robi się jeszcze dziwniej - mieliśmy korzystać z tw. Czebyszewa, a tu CTG.

Ja bym to zrobił tak, że z nierówności Czebyszewa
\(\displaystyle{ P(|X - \mu| > 0.01) \le \frac{D^2 X}{0.01^2} = \frac{1}{4n \cdot 0.01^2} }\)
i teraz chcemy tak dobrać (jak najmniejsze) \(\displaystyle{ n}\), żeby prawa strona była mniejsza lub równa \(\displaystyle{ 0.04}\),
czyli dostajemy nierówność na \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n \cdot 0.01^2} \le 0.04}\).
Jeżeli się nie machnąłem (za co nie ręczę, bo już jestem po wieczornym piwku), to daje to \(\displaystyle{ n = 62500}\).