Prawdopodobieństwo.

[colma]

Dzień dobry,

zadania być może trywialne, ale wciąż mam z nimi problem. Czy istnieje jakiś wzór, który mógłby mi tutaj ułatwić życie?

1) Student zna odpowiedź na 40 spośród 50 pytań. Ile należy mu zadać pytań, by prawdopodobieństwo zdarzenia, że choć raz odpowie, było większe od 0,9?
a) co najmniej 5
b) nie ma takiej liczby
c) co najmniej 3
d) co najmniej 2

Moja odpowiedź: student odpowiada na pytanie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\). Zatem jeśli odpowie niepoprawnie na pierwsze pytanie, należy odjąć z puli dostępnych pytań jedno i obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{40}{49}}\), a następnie \(\displaystyle{ \frac{40}{48}}\) i tak dalej, aż ułamek będzie większy niż 0.9. Dopiero wynik dzielenia \(\displaystyle{ \frac{40}{44}}\) jest większy niż 0.9, zatem należałoby mu zadać 6 pytań. Czy więc odpowiedź (a) jest prawidłowa?

[kerajs]

:Prawidłowa jest odpowiedź d)
\(\displaystyle{ P(1)=1- \frac{10}{50}=1-0,2=0,8<0,9\\
P(2)=1- \frac{10}{50} \cdot \frac{9}{49} \approx 1-0,0367= 0,9633>0,9\\
P(3)=1- \frac{10}{50} \cdot \frac{9}{49} \cdot \frac{9}{48} \approx 0,9938>0,9\\
...}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ X \sim {B}( p = 0.2) }\)

\(\displaystyle{ Pr(X \geq 1 ) = 1 - P( \{ X = 0\}) = 1 -\left(\frac{4}{5}\right) ^{n} = 1- (0,2)^{n} >0,9 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ (0,2)^{n} < 0,1 }\)

\(\displaystyle{ n\geq 2. }\)

Odpowiedź d.

Dodano po 42 minutach 34 sekundach:
\(\displaystyle{ (0,2 )^{n} < 0,1, \ \ n\in \NN }\)

\(\displaystyle{ n\cdot \log(0,2) < \log(0,1)}\)

\(\displaystyle{ n( \log(2) - \log(10)) < ( \log(1) - \log(10) }\)

\(\displaystyle{ n(\log(2) - 1) < 0 - 1 }\)

\(\displaystyle{ n > \frac{1}{1 - \log(2)} = \frac{\log(10)}{1-\log \left(\frac{10}{5}\right)} = \frac{\log(10)}{\log(5)}}\)

\(\displaystyle{ n \geq 2. }\)