Statystyka matematyczna

[Tori]

Dzień dobry,

moze ktoś może wyjaśnić mi jak rozwiązać te zadanko ze statystyki matematycznyj

Dostawca Pizzy deklaruje, że dowozi zamówiony produkt do klienta w czasie od 15 min. do 40 min. Zakładając, że przyjazd dostawcy pizzy w tym przedziale jest jednakowo prawdopodobny, a zmienną losową X jest czas oczekiwania na pizzę:
a) zapisz funkcję gęstości zmiennej losowej i zrób jej wykres,
b) oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
- pizza dotrze w czasie dłuższym niż pół godziny,
- pizza dotrze w czasie krótszym niż 20 min,
- pizza dotrze pomiędzy 25. min. i 35. min.
c) oblicz i zinterpretuj wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej,
d) wyznacz funkcję dystrybuanty, narysuj jej wykres i zaznacz na nim obliczone prawdopodobieństwa z punktu b.

[kieubass]

\(\displaystyle{ }\)Z opisu zadania wiemy, że mamy do czynienia z rozkładem jednostajnym nad odcinkiem \(\displaystyle{ \left[ 15; 40\right] }\). Zatem \(\displaystyle{ X \sim J\left[ 15; 40\right]}\) będzie zmienną losową oznaczającą czas dostawy.

a) Funkcja gęstości wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ X \sim J\left[a; b\right] \Rightarrow f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, &x \in \left[ a,b\right] \\ 0, &x \notin \left[ a,b\right] \end{cases} }\)

U nas \(\displaystyle{ b-a = 40 - 15 = 25}\), więc gęstość wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{25}, &x \in \left[ 15,40\right] \\ 0, &x \notin \left[ 15,40\right] \end{cases} }\)

Wykresem będzie pozioma linia na wysokości \(\displaystyle{ \frac{1}{25}}\) na rozważanym przedziale, a poza nim pozioma linia na wysokości zero.

Resztę zrobię może kiedy indziej, ale znajdź w necie jak się takie rzeczy robi, na pewno jest tego pełno Masz też gotowy wzór na dystrybuantę, a prawdopodobieństwa liczy się z jej użyciem.

\(\displaystyle{ X \sim J\left[a; b\right] \Rightarrow F(x) = \begin{cases} 0, & x<a\\ \frac{x-a}{b-a}, &x \in \left[ a,b\right] \\ 1, &x >b \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ P\left( X\le t\right) =F\left( t\right) }\)
\(\displaystyle{ P\left( X > t\right) =1 - F\left( t\right) }\)
\(\displaystyle{ P\left( a \le X\le b\right) =F\left( b\right) - F\left( a\right) }\)

Dodatkowo powiem, że rozkład jednostajny jest ciągły, więc jeżeli jakikolwiek znak nierówności będzie otwarty/domknięty, nie robi Ci to różnicy i wynik będzie taki sam

[janusz47]

b)
\(\displaystyle{ Pr(\{ T > 20min \}) = 1 - Pr(\{ T \leq 20 min\}) = 1 - \int_{15}^{20} \frac{1}{25} dt = ... }\)

c) podobnie

d) podobnie

e)
\(\displaystyle{ E(T) = \int_{-\infty}^{15} 0\cdot t dt + \int_{15}^{40} \frac{1}{25} \cdot t dt + \int_{40}^{\infty} 0\cdot t dt = \int_{15}^{40}\frac{1}{25}\cdot t dt =... min.}\)

\(\displaystyle{ E(T) }\) - średni czas dostawy pizzy do klienta wynosi ... minut

f)
\(\displaystyle{ D(T) = \sqrt{\int_{15}^{40} \frac{1}{25}\left[ t -E(t) \right]^2 dt} = .... min}\)

\(\displaystyle{ D(T) }\) odchylenie czasowe od średniego czasu dostawy pizzy do klienta wynosi ....minut