Rozkład wygranej w grze

[El3na]

Rzucamy symetryczną kostką do gry,jeśli wypadnie \(\displaystyle{ 6}\) to wygrywamy \(\displaystyle{ 6}\)zł,a jeśli inna to rzucamy jeszcze raz i wygrywamy średnią z dwóch wykonanych rzutów.Znaleźć rozkład,dystrybuantę,wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X = }\) wygrana suma w tej grze.

Rozkład:
\(\displaystyle{ X(k)=6 , k={6}}\)
\(\displaystyle{ X(l,m)=\dfrac{l+m}{2} , l={1,2,3,4,5},m={1,2,3,4,5,6} }\)
\(\displaystyle{ P(X=6)=\dfrac{1}{6} }\)
\(\displaystyle{ P(X=\dfrac{l+m}{2})=\dfrac{5}{6}}\)

Dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F_{X} (t) = \begin{cases} 0 , t \le 1 \\ \dfrac{5}{6} , t \in (1,6) \\ 1 , t \ge 6 \end{cases}}\)

Czy ta część rozwiązania jest ok? W jaki sposób wyznaczyć tutaj wartość oczekiwaną? Traktuję to jako rozkład ciągły?

[janusz47]

Doświadczenie losowe polegające na rzucie kostką modelujemy za pomocą zmiennych losowych dyskretnych.

Poprawnie Pani określiła rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ Pr\left( \{X = 6\}\right) = \frac{1}{6} \ \ (1)}\)

Musimy jeszcze znaleźć rozkład prawdopodobieństwa średniej arytmetycznej dwóch rzutów symetryczną kostką

\(\displaystyle{ Pr( \{ X=1\}) = Pr\left(\frac{1+1}{2} \right) = \frac{1}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X=1,5\}) = Pr\left(\frac{1+2}{2}, \frac{2+1}{2} \right) = \frac{2}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{ X =2\}) = Pr\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+2}{2} \frac{3 +1}{2} \right) = \frac{3}{36}}\)

\(\displaystyle{ Pr( \{ X=2,5\}) = Pr\left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{3+2}{2}, \frac{4+1}{2} \right) = \frac{4}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X =3\}) = Pr\left(\frac{1+5}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+3}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{5+1}{2} \right) = \frac{5}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X = 3,5\}) = Pr\left(\frac{1+6}{2}, \frac{2+5}{2}, \frac{3+4}{2}, \frac{4+3}{2}, \frac{5+2}{2} \right) = \frac{5}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X = 4\}) = Pr\left(\frac{2+6}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{4+4}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = \frac{4}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X =4,5\}) = Pr\left(\frac{3+6}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \frac{3}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X =5\}) = Pr\left(\frac{4+6}{2}, \frac{5+5}{2} \right) = \frac{2}{36} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{ X =5,5\}) = Pr\left(\frac{5+6}{2}, \frac{5+5}{2} \right) = \frac{1}{36} }\)

Dołączając rozkład \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ Pr\left(\{X = 6\}\right) = \frac{1}{6} =\frac{6}{36} }\)

otrzymujemy rozkład prawdopodobieństwa gry

Tabela

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 & 6 \\ \hline
Pr(\{X =x_{i}\})&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{3}{36}&\frac{4}{36}&\frac{5}{36}&\frac{5}{36}&\frac{4}{36}&\frac{3}{36}&
\frac{2}{36}&\frac{1}{36}&\frac{6}{36} \\ \hline \end{array} }\)

Proszę na podstawie powyższego rozkładu napisać wzór "klamerkowy" na dystybuantę gry \(\displaystyle{ F_{X}(t) }\)
i
obliczyć jej wartość oczekiwaną (średnią)

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}\cdot P(\{X = x_{i}\}). }\)