Wartość oczekiwana czasu oczekiwania

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Wartość oczekiwana czasu oczekiwania

Post autor: strefa61 »

Cześć. Mam następujące zadanie:
Osoby A i B przyjdą na umówione spotkanie w następujący sposób: osoba A przyjdzie o losowej godzinie między godziną \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ 1}\) (z jednorodnym prawdopodobieństwem), zaś osoba B przyjdzie na spotkanie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 50\%}\) o godzinie \(\displaystyle{ 0}\) lub z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 50\%}\) losowo (z rozkładem jednorodnym) o którejś godzinie między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ 1}\). Mam wyznaczyć wartość oczekiwaną czasu, który osoba, która przyjdzie pierwsza będzie musiała czekać na drugą.

Więc robimy zmienne losowe ( dla osoby A \(\displaystyle{ X}\), dla B \(\displaystyle{ Y}\)):
\(\displaystyle{ X \sim \left[ 0,1\right] }\) - rozkład jednostajny
\(\displaystyle{ F_Y(t)= \begin{cases} 1/2, \ \ \ t=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}+\frac{t}{2} \ \ \ \ t \in \left(0,1 \right] \end{cases} }\)
I definiuję: \(\displaystyle{ Z:= \left| X-Y\right| }\)
Jak policzyć \(\displaystyle{ E\left( Z\right) }\)? Gęstość \(\displaystyle{ X}\) oczywiście znam, ale jak policzyć gęstość \(\displaystyle{ Y}\)?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wartość oczekiwana czasu oczekiwania

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ Y}\) jest zmienną losową typu mieszanego, nie ma więc gęstości. Mam nadzieję, że rozjaśniłem sytuację.

Może coś takiego:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X-Y|=\mathbf{E}\left(|X-Y| |Y=0\right)\mathbf{P}(Y=0)+\mathbf{E}(|X-Y||Y\neq 0)\mathbf{P}(Y\neq 0)}\)
A tak w ogóle to potrzebne jest jeszcze założenie o niezależności \(\displaystyle{ X,Y}\), które w sumie jest zdroworozsądkowe, ale nie zostało zaznaczone w zadaniu.
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Re: Wartość oczekiwana czasu oczekiwania

Post autor: strefa61 »

Wygląda fajnie.
Rozumiem, że jest to warunkowa wartość oczekiwana, o której wczoraj jeszcze nie wiedziałem, tak?
Intuicyjnie to widzę, ale nie bardzo widzę uzasadnienie 'teoretyczne' tego sposobu.
ODPOWIEDZ