Z treści zadania wynika, że mamy doczynienia z modelem dwuetapowym doświadczenia losowego
- losowanie jednej z dwóch urn - etap pierwszy
- jednoczesne losowanie bez zwracania dwóch kul z wybranej urny - etap drugi.
Oznaczenia zdarzeń
\(\displaystyle{ 1 }\) - urna pierwsza
\(\displaystyle{ 2 }\) - urna druga
\(\displaystyle{ b }\) - kula biała
\(\displaystyle{ c }\) - kula czarna
Etap pierwszy
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ 1 , \ \ 2 \} }\)
\(\displaystyle{ P_{1}(\{ 1\}) = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ P_{1}(\{ 2 \}) = \frac{1}{2}. }\)
Etap drugi
\(\displaystyle{ \Omega_{2|1} = \{ \{c, c\} \}}\)
\(\displaystyle{ \Omega_{2|2} = \{ \{c,c \} \ \ \{c, b\}, \ \ \{b, b\} \} }\)
\(\displaystyle{ P_{2|1}(\{c,c\}) = 1 }\)
\(\displaystyle{ P_{2|2}(\{c,c\}) = \frac{{15\choose 2}}{{21\choose 2}} }\)
\(\displaystyle{ P_{2|2}(\{c,b\}) = \frac{{15\choose 1}\cdot {6\choose 1}}{{21\choose 2}} }\)
\(\displaystyle{ P_{2|2}(\{b,b\}) = \frac{{6\choose 2}}{{21\choose 2}}.}\)
Model doświadczenia dwuetapowego
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \times ( \Omega_{2|1} \cup \Omega_{2|2}) }\)
\(\displaystyle{ P(\{c, c\}) = P_{1}(\{ 1\})\cdot P_{2|1}(\{c,c\}) + P_{1}(\{ 2 \}) \cdot P_{2|2}(\{c,c\}) }\)
\(\displaystyle{ P(\{c, c\}) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot \frac{{15\choose 2}}{{21\choose 2}} }\)
\(\displaystyle{ P(\{c, b\}) = P_{1}(\{ 2\})\cdot P_{2|2}(\{c, b\}) }\)
\(\displaystyle{ P(\{c, b\}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{15\choose 1}\cdot {6\choose 1}}{{21\choose 2}} }\)
\(\displaystyle{ P(\{(b, b)\}) = P_{1}(\{ 2\})\cdot P_{2|2}(\{b,b\}) }\)
\(\displaystyle{ P(\{(b, b)\})= \frac{1}{2} \cdot \frac{{6\choose 2}}{{21\choose 2}}.}\)
Prawdopodobieństwo warunkowe
\(\displaystyle{ P(\{1\}|\{c, c\})= \frac{P(\{1\} \cap \{c,c\})}{P(\{c,c\})}= \frac{P(\{1\} \cap \{c,c\})}{P_{1}(\{ 1\})\cdot P_{2|1}(\{c,c\}) + P_{1}(\{ 2 \}) \cdot P_{2|2}(\{c,c\})} }\)
\(\displaystyle{ P( \{1\}|\{c, c\}) = \frac{ \frac{1}{2} \cdot 1}{ \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot \frac{{15\choose 2}}{{21\choose 2}}} = \frac{1}{1+ \frac{{15\choose 2}}{{21\choose 2}}} = \frac{2}{3}. }\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji doświadczenia dwuetapowego możemy, oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 66,7\% }\) ogólnej liczbie jego wyników, jeżeli wylosujemy dwie kule czarne, to pochodzić one będą z urny pierwszej, zawierającej same kule czarne.
Uwagi
Modelując doświadczenia losowe nie musimy znać twierdzenia Thomasa Bayesa o prawdopodobieństwie a priori, a posteriori, wystarczy znajomość definicji prawdopodobieństwa warunkowego.
Treść zadania z kostkami i wśród nich z kostką magiczną nie jest jednoznaczna, bo wymaga budowy dwóch modeli probabilistycznych - modelu losowania kostki z urny ze zwracaniem i modelu losowania kostki bez zwracania.
Dodano po 1 godzinie 7 minutach 6 sekundach:
Niejednokrotnie wspominałem, reprezentując pogląd mojego wykładowcy z Rachunku Prawdopodobieństwa
Śp. Pana Profesora Lecha Tadeusza Kubika, że centralne miejsce w nauczaniu rachunku prawdopodobieństwa - rozwiązywaniu zadań z tego przedmiotu zajmuje doświadczenie losowe, odznaczające się stabilnością częstości oraz konstrukcja jego modelu matematycznego. Jest to podejście konstruktywne, nieaksjomatyczne, nieabstrakcyjne ale ścisłe.
Jeśli chcemy rozwiązać jakieś zadanie, w którym mowa o prawdopodobieństwie, dotyczące konkretnego doświadczenia losowego jedno czy wieloetapowego, powinniśmy wykonać trzy kolejne etapy:
1. zbudować model probabilistyczny tego doświadczenia,
2. rozwiązać w modelu zagadnienie matematyczne będące odpowiednikiem postawionego zagadnienia praktycznego,
3. zinterpretować otrzymany wynik w odniesieniu do rozpatrywanego doświadczenia losowego.