Niezależność zmiennych losowych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Niezależność zmiennych losowych

Post autor: strefa61 »

Cześć, mam pytanie odnośnie niezależności dwóch zmiennych losowych.
Czy można jakoś 'intuicyjnie' podejrzewać jakie zmienne (mówię o jakichś w miarę prostych przypadkach) będą niezależne, np na podstawie ich rozkładu?
Załóżmy, że mam dwie 'jednowymiarowe' zmienne losowe niezależne, znam ich rozkład i rysuję ich dystrybuanty na jednym układzie kartezjańskim - czy dam rady wyciągnąć z tego przynajmniej podejrzenie o zależności lub niezależności?
szw1710

Re: Niezależność zmiennych losowych

Post autor: szw1710 »

Rzucasz dwukrotnie kostką. Wyniki obu rzutów są niezależne (w sensie intuicyjnym). Niech \(X\) będzie liczbą oczek w pierwszym rzucie, a \(Y\) liczbą oczek w drugim rzucie. Co powiesz o niezależności tych zmiennych losowych?
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Niezależność zmiennych losowych

Post autor: Gosda »

Pytasz, czy z rozkładów brzegowych (marginal) można odtworzyć rozkład łączny (joint). Nie można. Jest natomiast twierdzenie, które mówi że dwie zmienne są niezależne, jeśli rozkład łączny jest "iloczynem" rozkładów brzegowych: \(\displaystyle{ F(x, y) = F_X(x) F_Y(y)}\). I tak, można dać prosty konkretny przykład, gdzie te same rozkłady jednowymiarowe pochodzą z różnych rozkładów dwuwymiarowych.

#1 Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową opisującą wynik rzutu kostką, zaś \(\displaystyle{ Y = X}\). Wtedy \(\displaystyle{ X, Y}\) są "bardzo zależne" od siebie, obie mają rozkład jednostajny na zbiorze sześcioelementowym.

#2 Niech \(\displaystyle{ (X, Y)}\) będzie wektorem losowym opisującym wynik rzutu dwoma kośćmi, wtedy \(\displaystyle{ X, Y}\) mają takie same (jednowymiarowe) rozkłady, ale są niezależne.
ODPOWIEDZ