Rozkład zmiennych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
El3na
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 2 kwie 2019, o 15:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Rozkład zmiennych

Post autor: El3na »

Niech \(\displaystyle{ Q=(X,Y)}\) będzie losowo wybranym punktem z kwadratu \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\).Znaleźć rozkłady zmiennych \(\displaystyle{ X,Y,X+Y}\) Czy zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne? To samo dla \(\displaystyle{ X,X+Y}\).

Wyznaczyłam rozkład dla \(\displaystyle{ X,Y}\):
\(\displaystyle{ F_{X}(t) = \begin{cases} 0, t<0 \\ t, t \in [0,1) \\ 1, t \ge 1 \end{cases} }\)
dla \(\displaystyle{ Y}\) rozkład będzie wyglądać tak samo.Mam jednak problem z \(\displaystyle{ X+Y}\) nie wiem jak ma wyglądać ten rozkład..
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Rozkład zmiennych

Post autor: Tmkk »

Sprawdz najpierw, czy zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne. Jeśli są (a są), to gęstość sumy zmiennych losowych można wyznaczyć ze splotu.
El3na
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 2 kwie 2019, o 15:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Re: Rozkład zmiennych

Post autor: El3na »

\(\displaystyle{ Z=X+Y }\),korzystając ze wzoru: \(\displaystyle{ F_{X+Y} (z) = \int_{-\infty}^{\infty} F_{X} (z-y) d F_{Y} (y)}\)
\(\displaystyle{ F_{Z} (z) = 0 , z \in (-\infty,0)}\)
\(\displaystyle{ F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} (z-y)dy = z-\dfrac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ F_{Z} (z) = 1, z \in [1,\infty)}\)

Czy jest dobrze?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Rozkład zmiennych

Post autor: Tmkk »

Niezbyt. Dystrybuanta, która Ci wyszła, nie jest nieujemna i ma jakiś dziwny skok. To nie jest tak, że \(\displaystyle{ dF_Y(y) = dy}\) i już.

Jeśli obie zmienne posiadają gęstości, to jest dużo przyjemniejszy wzór:

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy}\)

Wyznacz (lub napisz, bo to rozkład jednostajny) sobie te gęstości i spróbuj na nich popracować.
ODPOWIEDZ