Gęstość zmiennej losowej

[math196]

Niech \(\displaystyle{ X }\) będzie zmienną losową przyjmującą dodatnie wartości oraz o gęstości \(\displaystyle{ f }\). Znajdź postać gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^{-1} }\).
Czy wie ktoś może jak to zrobić ?

[a4karo]

Napisz sobie definicję, to pewnie od razu zobaczysz.

[Premislav]

\(\displaystyle{ F_{X^{-1}}(x)=\mathbf{P}\left(X^{-1}\le x\right)=\mathbf{P}\left(X\ge \frac{1}{x}\right)=1-\mathbf{P}\left(X<\frac{1}{x}\right)=1-\mathbf{P}\left(X\le \frac{1}{x}\right)=1-F_{X}\left(\frac{1}{x}\right)}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
gdzie \(\displaystyle{ F}\) oznacza dystrybuantę rozkładu prawdopodobieństwa. Zróżniczkuj po \(\displaystyle{ x}\) i gotowe(oczywiście dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) gęstość będzie zaś zerowa).