Prawdopodobieństwo całkowite, kule, szachy

[natsiiiak]

Zadanie 1 brzmi:
W urnie są 2 kule nieznanego koloru. Prawdopodobieństwo tego, że obie są białe jest 2 razy większe od innej możliwości. Wrzucono kulę białą, a następnie wyciągnięto losowo jedną kulę. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula okaze się biała.

Rozwiązałam zadanie na kartce w postaci drzewka stochastycznego i wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{5}{6} }\)

Czy ktoś jest w stanie mi to sprawdzić czy jest dobrze policzone? Odpowiedzi do zadania brak

Zadanie 2 brzmi:
Dwóch graczy gra w szachy. Prawdopodobieństwo tego, że wygra pierwszy wynosi 0,25. Jakie jest prawd., że gracz pierwszy wygra 2 partie z 4? Jakie jest prawd tego, że gracz pierwszy wygra 4 partie z 8. Remis jest niemożliwy.

Ktoś pomoże ?

[kerajs]

Ad 2)

Jakie jest prawd., że gracz pierwszy wygra 2 partie z 4?

\(\displaystyle{ P={4 \choose 2}\left( 0,25\right)^2 \left( 1-0,25\right)^{4-2}}\)

Jakie jest prawd tego, że gracz pierwszy wygra 4 partie z 8.

\(\displaystyle{ P={8 \choose 4}\left( 0,25\right)^4 \left( 1-0,25\right)^{8-4}}\)

Ad 1) \
Problematyczny jest dla mnie fragment: Prawdopodobieństwo tego, że obie są białe jest 2 razy większe od innej możliwości , więc może ktoś ogarnięty to ogarnie.

[a4karo]

Zadanie 1 brak wystarczających danych do podania odpowiedzi wszak wśród dwóch kul może być kula biała i czerwona albo mogą być dwie czerwone

[janusz47]

Oznaczenia

\(\displaystyle{ b }\) -kula biała

\(\displaystyle{ c }\) - kula innego koloru na przykład czarna

\(\displaystyle{ B }\) - zdarzenie " wylosowana kula okaże się biała".

Z treści zadania

\(\displaystyle{ P(\{b,b\}) = 2x , \ \ Pr(\{b,c\}) = x , \ \ Pr(\{c,c\}) = x. }\)

Z własności rozkładu funkcji prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P(\{b,b\}) + Pr(\{b,c\}) + Pr(\{c,c\}) = 2x + x + x = 1 }\)

\(\displaystyle{ 4x = 1 }\)

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{4}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ Pr(\{b,b\}) = 2\cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{b, c\}) = \frac{1}{4} }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{ c, c\}) = \frac{1}{4} }\)


Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym)

\(\displaystyle{ Pr(B) = 1 \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{12}= \frac{3}{4}. }\)

[kerajs]

Z treści zadania
\(\displaystyle{ P(\{b,b\}) = \frac{2}{4} , \ \ Pr(\{b,c\}) = \frac{1}{4} , \ \ Pr(\{c,c\}) = \frac{1}{4} . }\)

A z którego to fragmentu treści zadania masz te prawdopodobieństwa?

Moim zdaniem pasus: Prawdopodobieństwo tego, że obie są białe jest 2 razy większe od innej możliwości oznacza
\(\displaystyle{ P(b,b)=2(1-P(b,b))}\)

Wtedy lepsze byłyby:
\(\displaystyle{ P(\{b,b\}) = \frac{2}{3} , \ \ Pr(\{b,c\}) = \frac{1}{6} , \ \ Pr(\{c,c\}) = \frac{1}{6} }\)
albo:
\(\displaystyle{ P(\{b,b\}) = \frac{2}{3} , \ \ Pr(\{b,c\}) = \frac{2}{9} , \ \ Pr(\{c,c\}) = \frac{1}{9} }\)
a jeszcze lepszejsze:
\(\displaystyle{ P(\{b,b\}) =\frac{2}{3} , \ \ Pr(\{b,c\}) = \frac{2}{3} ( \sqrt{6} -2) , \ \ Pr(\{c,c\}) = \frac{5-2 \sqrt{6} }{3} }\)
Jednak to tylko zgadywanki gdyż wtedy i tak:

brak wystarczających danych do podania odpowiedzi

[janusz47]

To jest elementarna metoda obliczania wartości prawdopodobieństw, gdy podany jest warunek, że prawdopodobieństwo jednego zdarzenia jest \(\displaystyle{ k- }\) razy większe (mniejsze) od prawdopodobieństwa innego zdarzenia. Typowe zadanie szkolne na obliczenie prawdopodobieństwa całkowitego.

[a4karo]

Z warunków zadania wynika, że prawdopodobieństwo dwóch kul białych jest wada razy większe od dwóch kul zielonych, dwóch niebieskich, dwóch czarnych itp , a ponieważ kolorów jest teoretycznie bumzyliard to...

[janusz47]

a4karo bez filozofii.

[Gosda]

Zgadzam się, że zadanie pierwsze jest nieprecyzyjne, z treści wynika jedynie, że

\(\displaystyle{ P(b, b) = \frac 23}\).

Jeśli oznaczymy (nieznane) prawdopodobieństwo tego, że w urnie są dwie niebiałe kule przez \(\displaystyle{ p}\), to dokładnie jedna kula jest biała z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1/3 - p}\). Teraz możemy już zastosować metodę z drzewkiem:

\(\displaystyle{ \frac 23 \cdot 1 + p \cdot \frac 13 + \left(\frac 13 - p\right) \cdot \frac 23 = \frac{8-3p}{9}}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ p}\) nie może przyjmować dowolnej wartości, tylko z przedziału \(\displaystyle{ [0, 1/3]}\). Zatem odpowiedzią do zadania może być dowolna liczba rzeczywista z przedziału

\(\displaystyle{ \left[\frac59,\frac89\right]}\)

[natsiiiak]

Ja to rozumiem w ten sposób, że
B1 - 2 kule w urnie są białe
B2 - 2 kule w urnie są innego koloru (1biała, 1 inna lub 0 białych, 2 inne)
\(\displaystyle{
2P(B2)=P(B1)}\)
\(\displaystyle{ P(B1)+P(B2) = 1}\)
\(\displaystyle{ 2P(B2)+P(B2) = 1}\)
\(\displaystyle{ P(B2)= \frac{1}{3} }\)
\(\displaystyle{ P(B1)= \frac{2}{3} }\)

wówczas w pierwszej linii drzewka będziemy mieć 3 możliwości:
1) 0 kul białych, 2 inne: \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) 2) 1 kula biała, 1 inna: \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) 3)2 kule białe: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
dorzucamy kulę białą więc mamy (zmienia się tylko ilość kuli w urnie, prawdoopodobienstwa zostają te same)
1) 1 kulę białą, 2 inne \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) 2) 2 kule białe, 1 inna: \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) 3)3 kule białe: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
druga linijka drzewka - czyli wylosowano kulę białą
1) wylosowano kulę białą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) 2) wylosowano kulę białą \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) 3) wylosowano kulę białą \(\displaystyle{ \frac{3}{3}}\)

stąd całość \(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{5}{6}

}\)

Co w tym rozumowaniu jest nie tak? Ja zrozumiałam, że to jakie są te inne kule nie ma znaczenia, po prostu sa inne i odnosimy je do białych..

[janusz47]

Jeżeli rozkład prawdopodobieństwa ilości kul w urnie przyjmiemy jako \(\displaystyle{ P(\{ b, b\}) = \frac{2}{3}, \ \ P(\{b,c\}) = P(\{c,c\}) = \frac{1}{6} }\) to Twoje rozumowanie i rozwiązanie jest poprawne.