Ciekawy problem. Wartość oczekiwana

[pawlo392]

Myślę nad pewnym problemem. Może, ktoś spotkał się z podobnym. Ja niestety nic w internecie podobnego znaleźć nie mogę. Otóż rozważmy dwie drogi. Niech jedna ma długość \(\displaystyle{ n}\) a druga długość \(\displaystyle{ k}\), gdzie \(\displaystyle{ n<k}\). Możemy to traktować jak pola na planszy. Niech na drodze \(\displaystyle{ k}\) znajduje się pole \(\displaystyle{ m}\), które bonusowo przesuwa nas na kilka pół do przodu/ do końca drogi (niestety w tym miejscu pasowałoby to doprecyzować). Którą drogę lepiej wybrać jeśli zależy nam na szybszym dotarciu na koniec drogi?

[kerajs]

Zupełnie się na tym nie znam, ale szacowałbym jakoś tak:
Jeśli w grze rzucamy sześcienną kostką, to z każdym rzutem przesuwamy się średnio o \(\displaystyle{ 3,5}\) pola.
Pierwsza droga (dla znacząco dużej ilości gier) wymaga średnio \(\displaystyle{ \lceil \frac{n}{3,5} \rceil}\) ruchów, a druga \(\displaystyle{ \lceil \frac{5}{6} \frac{k}{3,5}+ \frac{1}{6} \frac{k-x}{3,5} \rceil}\) ruchów (\(\displaystyle{ x }\) to ilość pól o jakie przesuwa nas stanięcie na polu \(\displaystyle{ m}\)).

Dla jednej gry intuicja sugeruje mi wybór krótszej drogi.

[pawlo392]

Ciekawe podejście. Jednak niestety nie jestem pewny co do tych prawdopodobieństw. Dokładnie chodzi mi o to :\(\displaystyle{ \displaystyle{ \lceil \frac{5}{6} \frac{k}{3,5}+ \frac{1}{6} \frac{k-x}{3,5} \rceil}}\)

[kerajs]

Szansa iż pion stanie na polu \(\displaystyle{ m}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) . Ma on wtedy do przebycia drogę \(\displaystyle{ k-x}\) którą przy dużej liczbie gier przebywa średnio w \(\displaystyle{ \frac{k-x}{3,5} }\) ruchach. Jednak pion może ominąć pole \(\displaystyle{ m}\) i stąd drugi składnik sumy. Sufit jest zaokrągleniem do liczby naturalnej liczby, gdyż tylko taką może być liczba ruchów.
Dodam że założyłem, iż \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) są wielokrotnie większe od \(\displaystyle{ 6}\) (liczba możliwych wyników rzutów kostką).