Martyngały i filtracje - dwa zadania

[Nietoperz]

Hej proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań.
Zad 1. Znajdź postać filtracji generowanej przez proces \(\displaystyle{ X(n,\omega)=\omega^2\mathbf{1}_{\left[0,2+\frac{1}{n}\right]}}\)

Zad 2. Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_n\right\}_{n=1}^{\infty} }\)będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie \(\displaystyle{ N(-a,0), a>0}\)
i) dla jakiej wartości \(\displaystyle{ h\in\mathbb{R}}\) proces \(\displaystyle{ Y_n=\exp(h\sum_{i=1}^n X_i)}\) jest martyngałem względem swojej filtracji naturalnej?
ii) Dla jakich wartości \(\displaystyle{ h}\) proces ten jest sub lub super martyngałem?
iii) Niech \(\displaystyle{ h=2a}\) i niech \(\displaystyle{ x>0}\). Określmy \(\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^n X_i}\) Udowodnij że zachodzi
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\sup_nS_n>x)\le e^{-2ax}}\)

[Tmkk]

1. Na jakiej przestrzeni zdefiniowany jest ten proces? Czy wiesz czym jest filtracja generowana przez proces?

2. Jesteś pewny, że ten rozkład to rozkład normalny o wariancji zero?

[Nietoperz]

1. Na jakiej przestrzeni zdefiniowany jest ten proces? Czy wiesz czym jest filtracja generowana przez proces?

2. Jesteś pewny, że ten rozkład to rozkład normalny o wariancji zero?

1. W poleceniu nie jest podane, rozpatrujemy procesy z czasem dyskretnym. Filtracja generowana przez proces to wstępujący ciąg sigma ciał \(\displaystyle{ F_n=\sigma\left\{ X_1,...X_n\right\} }\)

2. Oczywiście jest błąd, powinno być 1

[Tmkk]

1. Ok, to spróbuj najpierw znaleźć \(\displaystyle{ \mathcal{F}_1}\), czyli przeciwobraz zmiennej \(\displaystyle{ X(1,\omega)}\) dla wszystkich zbiorów borelowskich na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Oczywiście, wszystkie zbiory ciężko byłoby sprawdzić, więc do jakich zbiorów wystarczy się ograniczyć?

2. A ma być \(\displaystyle{ \mathcal{N}(-a,1)}\), czy \(\displaystyle{ \mathcal{N}(a,1)}\)? Tak czy inaczej, zacznijmy od części a). Musisz sprawdzić kiedy zachodzi
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(Y_n \vert \mathcal{F}_{n-1}\right) = Y_{n-1} }\)
Nie jest to trudne zadanie, bo funkcja wykładnicza ma dobre własności pozwalające rozdzielić ten napis pod wartością oczekiwaną na część mierzalną i niezależną od sigma ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n-1}}\).

[Nietoperz]

1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest \(\displaystyle{ X(1,\omega)=\omega^2}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega\in\left[ 0,3\right] }\) więc \(\displaystyle{ F_1=\left\{ \emptyset, \mathbb{R}, \mathbb{R}/A, A\right\} }\)
Gdzie
\(\displaystyle{ A=\left\{ \left[ -\sqrt{b},-\sqrt{a})\right] \cup \left[\sqrt{a},\sqrt{b}\right] \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ a,b\in \left[0,9\right]}\)?

2. Ma być \(\displaystyle{ -a}\). Spróbuję zrobić i) oraz ii) ale na pewno proszę o pomoc z iii) gdyz nie mam pomysłu jak się za to zabrać

[Tmkk]

1. Pamiętaj, że kiedy \(\displaystyle{ \omega \in (-\infty, 0) \cup (3,\infty)}\), to \(\displaystyle{ X(1,\omega) = 0}\). To też trzeba uwzględnić.

2. do przykładu c) przeczytaj sobie o nierówności maksymalnej Dooba.

[Nietoperz]

i) czyli finalnie do zbioru \(\displaystyle{ F_1
}\) wystarczy dodać zbiór \(\displaystyle{ B=\left( -\infty,0\right) \cup \left( 3,+\infty\right) }\) i wszelkie jego kombinacje z pozostalymi zbiorami? Czyli ostatecznie byloby to zbior:
\(\displaystyle{ F_1=\left\{ \emptyset, \mathbb{R},A,B,\mathbb{R}/A,A \cup B\right\} }\)?
Jak w takim razie wyznaczyć ogólną postać filtracji generowanej przez ten proces?
ii) Liczę:\(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}|F_n)=\mathbb{E}(Y_n\cdot e^{hX_{n+1}}|F_n)=Y_n\cdot\mathbb{E}(e^{hX_{n+1}})}\)

i nasuwają się dwa pytania:
1) jak teraz wyznaczyć dla jakiego \(\displaystyle{ h}\) mamy martyngał, sub i super martyngał? Czyli dla jakiego \(\displaystyle{ h}\) ta końcowa wartość oczekiwana jest równa \(\displaystyle{ 1}\), wieksza i mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\)?
2) Z czego wynika że jeśli zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,...X_n}\) są niezależne to funkcje \(\displaystyle{ e^{X_1},...e^{X_n} }\)są niezależne? Jakie to twierdzenie? Funkcja musi być ciągła żeby niezależność sie zachowala?

[Tmkk]

i) Mała poprawka do tego, co było wcześniej: przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ (a,b)}\) dla \(\displaystyle{ a,b\in (0,9)}\) to \(\displaystyle{ (\sqrt{a},\sqrt{b})}\). Bez ujemnego kawałka (ujemny przedział przechodzi na \(\displaystyle{ 0}\), bo mamy f. charakterystyczną.

No już blisko. Wszystkie zbiory które powinieneś mieć - masz, teraz tylko musisz zagwarantować, że to sigma ciało (czyli muszą być tam wszystkie dopełnienia i sumy). Nie damy rady wypisać wszystkich zbiorów, dlatego proponowałbym po prostu taki zapis:
\(\displaystyle{ \mathcal{F}_1 = \sigma\Bigl(\left\{ (a,b): a,b \in (0,3), (-\infty,0 \right] \cup\left[3,\infty) \right\}\Bigr)}\).
Chyba o niczym nie zapomnieliśmy.
Pytanie do Ciebie: czy wyszczególnianie zbioru \(\displaystyle{ (-\infty,0 ] \cup[3,\infty)}\) było konieczne, czy wystarczyłoby \(\displaystyle{ \mathcal{F}_1 = \sigma\Bigl(\left\{ (a,b): a,b \in (0,3) \right\}\Bigr)}\)? Dlaczego?

Dobrze, to teraz podobną rzecz możesz zrobić dla \(\displaystyle{ \sigma\bigl(X(2,\omega)\bigr)}\), niewiele sie zmienia. Stąd możesz wywnioskować (z definicji tego napisu) czym jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}_2 = \sigma\bigl(X(1,\cdot), X(2,\cdot)\bigr)}\) i analogicznie \(\displaystyle{ \mathcal{F}_n.}\).


ii) dobrze
1) Teraz moment obliczeniowy, w którym potrzebujemy rozkładu \(\displaystyle{ X_n}\). Trzeba wyliczyć ile jest równe \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(e^{hX_{n+1}}\right)}\) (na przykład licząc całkę lub korzystając z funkcji charakterystycznej dla rozkładu normalnego) a potem sprawdzić, kiedy to jest równe (martyngał), większe (podmartyngał) lub mniejsze (nadmartyngał) od \(\displaystyle{ 1}\).

2)Wystarczy, że będzie borelowska. Jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, a \(\displaystyle{ f,g}\) są borelowskie, to \(\displaystyle{ f(X), g(Y)}\) są niezależne. Wynika to bezpośrednio z definicji niezależności i takiego napisu (zakładam, że jesteśmy na prostej):
\(\displaystyle{ \left\{ f(X) < x\right\} = \left\{ \omega \in \Omega : f(X(\omega)) < x\right\} = \left\{ X \in \left\{ \omega \in \mathbb{R} : f(\omega) < x\right\} \right\} }\)

[Nietoperz]

1. Czy mogę brać przeciwobrazy zbiorów domkniętych czy muszą być otwarte? Bo dla domkniętych byłoby po prostu:
\(\displaystyle{ F_1=\left\{ \emptyset, \mathbb{R}, [a,b], \mathbb{R}/[a,b], a,b\in[0,3]\right\} }\)

Następnie każda następna zmienna ma mniejszą dziedzinę czyli filtracja jest stała? Czy coś namieszałem?

No własnie ta wyodrebniona czesc pewnie powinna byc tylko ona jest dopełneniem zbioru \(\displaystyle{ (a,b)}\) dla \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=3}\) to czy trzeba to dopisywać?

2. No właśnie jak to wyliczyć? Bo licząc z definicji mam:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(e^{h{X_{n+1}}})=\int_0^{\infty}x\cdot e^{hx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x+a)^2}}\) i dalej nie ruszę Wolfram też cuda wyrzuca, z funkcji charakterystycznej jak by to szło?

[Tmkk]

1. Aby znaleźć sigma ciało generowane przez zmienną losową, musimy znaleźć wszystkie możliwe przeciwobrazy zbiorów borelowskich dla tej zmiennej. Wiemy, że wystarczy sprawdzić na generatorach, czyli np. na zbiorach otwartych (lub domkniętych, lub półprostych). Wówczas szukanym sigma ciałem, będzie sigma ciało generowane przez te przeciwobrazy, a nie zbiór tych przeciwobrazów. Rozumiesz różnicę?

A Ty właśnie próbujesz włożyć przeciwobrazy zbiorów otwartych (lub domkniętych) w jeden zbiór. I nietrudno się przekonać, że Twoja rodzina zbiorów, nie spełnia nawet definicji sigma ciała, bo gdzie jest np \(\displaystyle{ (0,1) \cup (2,3)}\). Jest też niepełna, bo np brakuje zbioru \(\displaystyle{ (1,2]}\). Jeśli to zrozumiesz, to zobaczysz, że jeśli uwględniasz, że Twojej rodzinie jest zbiór \(\displaystyle{ (0,3)}\), to zbioru \(\displaystyle{ (-\infty,0 ] \cup [3,\infty)}\) nie musisz już wyszczególniać, bo jest on dopełnieniem tego pierwszego.

Tak, filtracja jest stała, bo \(\displaystyle{ \sigma(X_1) \supset \sigma(X_2) \supset \sigma(X_3) \supset \ldots}\)

2. A co robi ten \(\displaystyle{ x}\) na samym początku i pare innych rzeczy? Problem z policzeniem wynika z tego, że źle napisałeś gęstość rozkładu gaussowskiego.

[Nietoperz]

Ok pierwsze już rozumiem, zatem szukana postać filtracji to po prostu \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{F} = \sigma\Bigl(\left\{ (a,b): a,b \in (0,3), (-\infty,0 \right] \cup\left[3,\infty) \right\}\Bigr)}}\).

Zad 2. Tzn. na pewno tego \(\displaystyle{ x}\) nie powinno być, ale reszta chyba ok? Wychodzi \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(e^{h{X_{n+1}}})=\int_0^{\infty} e^{hx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x+a)^2}{2}}}}\)Niestety takiej całki nie policzę Wydaje mi się że tak to szło, po prostu domnożyłem przez gęstość. Jest źle?

[Tmkk]

1. No właśnie tego zbioru nie musisz wyszczególniać, bo jest on dopełnieniem odcinka \(\displaystyle{ (0,3)}\). Czyli ostatecznie

\(\displaystyle{ \mathcal{F} = \sigma\Bigl(\left\{ (a,b): a,b \in (0,3) \right\}\Bigr)}\).

2. Jeszcze wykładnik powinien być podzielony przez \(\displaystyle{ 2}\), ale to już poprawiłeś oraz całka jest po całej prostej a nie po \(\displaystyle{ (0,\infty)}\) - bo taka jest gęstość rozkładu normalnego. Podsumowując

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(e^{h{X_{n+1}}})=\int_{-\infty}^{\infty} e^{hx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x+a)^2}{2}}}dx}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}\) się całkuje do \(\displaystyle{ 1}\), jako gęstość rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left(0,1\right)}\). Podobnie, jeżeli przesuniemy \(\displaystyle{ x}\), na przykład \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-50)^2}{2}}}\), również się całkuje do \(\displaystyle{ 1}\). Pomysł jest taki, aby zapisać wyrażenie w eksponencie w taki sposób

\(\displaystyle{ hx - \frac{(x+a)^2}{2} = -(wyrażenie \ z \ x)^2 + (wyrażenie \ bez \ x)}\). Wtedy wyrażenie bez \(\displaystyle{ x}\) można będzie wyciągnąć przed całkę, a wyrażenie z \(\displaystyle{ x}\), odpowiednio przesuwając, będzie się całkować do \(\displaystyle{ 1}\). Krótko mówiąc, wszystkie wyrazy z \(\displaystyle{ x}\) zwiń do kwadratu.

[Nietoperz]

OK to robię tak (to jest licznik):
\(\displaystyle{ 2hx-(x+a)^2=2hx-x^2-2ax-a^2=-(x^2-x(2h-2a)+a^2)=-(x-(h-a))^2-a^2+(h-a)^2=-(x-(h-a))^2+h^2-2ah}\)

Czyli wartość oczekiwana wyniesie

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(e^{h{X_{n+1}}})=\int_{-\infty}^{\infty} e^{hx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x+a)^2}{2}}}dx}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-(h-a))^2+h^2-2ah}{2}}= e^{\frac{h^2-2ah}{2}}}\)

Czyli martyngał gdy \(\displaystyle{ {\frac{h^2-2ah}{2}}=0}\) czyli gdy \(\displaystyle{ h=0}\) lub \(\displaystyle{ h=2a}\).

Pozostaje to zadanie z supremum, niestety wciąż nie wiem jak to policzyć. Dla \(\displaystyle{ h=2a}\) dostaniemy martyngał. Mógłbyś wyjaśnić jak to zrobić?

[Tmkk]

Tak, bardzo dobrze.

Jest dużo wersji nierówności maksymalnej Dooba. Nam wystarczy taka, że dla martyngału lub nieujemnego podmartyngału \(\displaystyle{ M_n}\) i \(\displaystyle{ \lambda >0}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\sup_n \left| M_n \right| \ge \lambda \right) \le \frac{\sup_n \mathbb{E}\left| M_n\right| }{\lambda}}\).

Więc u Ciebie (\(\displaystyle{ a>0}\), to ważne tutaj)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\sup_n S_n \ge x \right) = \mathbb{P}\left(\sup_n e^{2aS_n} \ge e^{2ax} \right) \le \frac{\sup_n \mathbb{E}e^{2aS_n}}{e^{2ax}}}\).

\(\displaystyle{ e^{2aS_n}}\) jest martyngałem, bo przed chwilą to policzyłeś. Modułów nie pisałem, bo mamy funkcję nieujemną. Teraz dla martyngału oczywiście zachodzi \(\displaystyle{ \mathbb{E}M_n = \mathbb{E}M_1}\), więc tutaj \(\displaystyle{ \mathbb{E}e^{2aS_n} = \mathbb{E}e^{2aS_1} = \mathbb{E}e^{2aX_1} = 1}\) (to też przed chwilą liczyłeś. Supremum jak widać, można pominąć), czyli ostatecznie

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\sup_n S_n \ge x \right) \le \frac{1}{e^{2ax}} = e^{-2ax}}\).

[Nietoperz]

Dzięki wielkie!