Cześć. Wiem, że pytanie zadaję w złym dziale, gdyż nie mogę znaleźć odpowiedniego. A może w ogóle nie powinienem pytać na tym forum? Jeśli tak, to pomińcie temat. Główkuję już od jakiegoś czasu nad zadaniem z teorii gier, a mianowicie:
Mamy przewód (logiczny, lub fizyczny), przez który idzie \(\displaystyle{ n}\) transmisji, przewód ma pojemność \(\displaystyle{ 1}\).
Prowadzący wyprowadził następujący wzór na wypłaty w grze:
\(\displaystyle{ Q_{i}(x_{i}, x_{-i}) = x_{i}(1-\sum_{i=1}^{n}x_{i})}\)
Wiadomo, że chcemy wypłatę maksymalizować.
Następnie wyprowadził następne wzory:
\(\displaystyle{
f=\sum_{i=1}^{n}x_{i}
}\)
\(\displaystyle{
f_{i}=\sum_{j=1,j \neq i}^{n}x_{i}
}\)
\(\displaystyle{
Q_{i} = x_{i}(1-(f_{i} + x_{i})
}\)
\(\displaystyle{
Q_{i} = x_{i}(1-f_{i}) - x_{i}^{2}
}\)
\(\displaystyle{
Q_{i} = 1-f_{i} - 2x_{i} = 0
}\)
\(\displaystyle{
x_{i} = \frac{1-f_{i}}{2}
}\)
\(\displaystyle{
x_{i} = 1-f
}\)
Obok tego:
\(\displaystyle{
f = n(1-f)
}\)
\(\displaystyle{
f + nf = n
}\)
\(\displaystyle{
f = \frac{n}{n+1}
}\)
czyli:
\(\displaystyle{
x_{i} = 1 -f = 1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}
}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{
Q_{i} = x_{i}(1-f) = \frac{1}{(n+1)^2}
}\)
i:
SW - Social Welfare (suma wszystkich wypłat)
\(\displaystyle{
SW(x) = \frac{n}{(n+1)^2}
}\)
czyli dla \(\displaystyle{ n>>1}\):
\(\displaystyle{
SW(x) = \frac{1}{n}
}\)
Zadaniem jest obliczenie tu PoA (price of anarchy) oraz PoS (price of stability).
Wzory, jakie prowadzący podał nam na zajęciach:
x - profil strategii
NE - zbiór profilii strategii będących równowagami Nasha dla gry
\(\displaystyle{
PoA = \frac{\max_{x}SW(X)}{\min_{x \in NE}SW(x)}
}\)
\(\displaystyle{
PoS = \frac{\max_{x}SW(X)}{\max_{x \in NE}SW(x)}
}\)
Wcześniej, dla przykładów dyskretnych (z tabelkami, w stylu kamień papier nożyce) znajdywaliśmy RN w tabelce, \(\displaystyle{ \max_{x}SW(X)}\) liczyło się poprzez wyliczenie wypłat dla każdej komórki w tabeli, \(\displaystyle{ \max_{x \in NE}SW(x)}\) tak samo, tylko dla tych komórek, w których była RN.
Czy ma ktoś z Was pomysł jak to ugryźć, z czego to liczyć? Rozumiem też że wynikiem będzie funkcja, a nie jakaś liczba, prawda?
Z góry wielkie dzięki za pomoc